Todo operador ortonormal é um operador normal? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se todo operador ortonormal é também um operador normal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores ortonormais e operadores normais. Então, vamos definir esses conceitos e ver como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre operadores ortonormais. Na matemática, especialmente na álgebra linear, um operador ortonormal é basicamente uma transformação que preserva os comprimentos e os ângulos entre vetores. Isso significa que, se você aplicar esse operador a um vetor, o resultado terá o mesmo comprimento e estará na mesma direção, ou em uma direção perpendicular.
Formalmente, um operador é ortonormal se satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso garante que preserve a estrutura interna do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um operador normal. Um operador é chamado de normal se ele comuta com a sua adjunta, ou seja, , onde é o operador adjunto de . No caso de operadores sobre espaços reais, o adjunto é simplesmente a transposta, então a condição se torna .
Essa propriedade é importante porque operadores normais têm boas propriedades, como serem diagonalizáveis por uma base ortonormal de vetores próprios.

Passo 4

Vamos agora verificar se todo operador ortonormal satisfaz a condição para ser normal. Sabemos que para um operador ortonormal , temos . Vamos multiplicar ambos os lados por à esquerda:
Simplificando, temos:
Isso mostra que , que é a mesma coisa que dizer que . Portanto, comuta com sua transposta:

Passo 5

Dado que , isso significa que o operador ortonormal satisfaz a condição para ser um operador normal, já que .

Resposta

Sim, todo operador ortonormal é um operador normal porque ele comuta com sua transposta, ou seja, , satisfazendo assim a definição de operador normal.

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Dada a matriz , determine:
(a) utilizando as operações elementares sobre as linhas de ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)
(f) .
Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto .
(b) ( ) Se a primeira linha de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto .
© * ( ) Se a soma de matrizes estiver definida, então e devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se é uma matriz quadrada e tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se é uma matriz singular (não invertível), então não é invertível.
(g) ( ) Se é invertível e , então necessariamente é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se é uma matriz quadrada tal que , então
Verifique que se é uma matriz , então os traços de e estão definidos. Em seguida prove que .
Classifique os operadores abaixo: tal que