Todo operador ortonormal é um operador normal? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se todo operador ortonormal é também um operador normal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores ortonormais e operadores normais. Então, vamos definir esses conceitos e ver como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre operadores ortonormais. Na matemática, especialmente na álgebra linear, um operador ortonormal é basicamente uma transformação que preserva os comprimentos e os ângulos entre vetores. Isso significa que, se você aplicar esse operador a um vetor, o resultado terá o mesmo comprimento e estará na mesma direção, ou em uma direção perpendicular.
Formalmente, um operador
é ortonormal se satisfaz
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso garante que
preserve a estrutura interna do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um operador normal. Um operador
é chamado de normal se ele comuta com a sua adjunta, ou seja,
, onde
é o operador adjunto de
. No caso de operadores sobre espaços reais, o adjunto é simplesmente a transposta, então a condição se torna
.
Essa propriedade é importante porque operadores normais têm boas propriedades, como serem diagonalizáveis por uma base ortonormal de vetores próprios.
Passo 4
Vamos agora verificar se todo operador ortonormal satisfaz a condição para ser normal. Sabemos que para um operador ortonormal
, temos
. Vamos multiplicar ambos os lados por
à esquerda:
Simplificando, temos:
Isso mostra que
, que é a mesma coisa que dizer que
. Portanto,
comuta com sua transposta:
Passo 5
Dado que
, isso significa que o operador ortonormal
satisfaz a condição para ser um operador normal, já que
.
Resposta
Sim, todo operador ortonormal é um operador normal porque ele comuta com sua transposta, ou seja,
, satisfazendo assim a definição de operador normal.