Todo operador ortonormal é um operador normal? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se todo operador ortonormal é também um operador normal. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores ortonormais e operadores normais. Então, vamos definir esses conceitos e ver como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre operadores ortonormais. Na matemática, especialmente na álgebra linear, um operador ortonormal é basicamente uma transformação que preserva os comprimentos e os ângulos entre vetores. Isso significa que, se você aplicar esse operador a um vetor, o resultado terá o mesmo comprimento e estará na mesma direção, ou em uma direção perpendicular.
Formalmente, um operador é ortonormal se satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso garante que preserve a estrutura interna do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um operador normal. Um operador é chamado de normal se ele comuta com a sua adjunta, ou seja, , onde é o operador adjunto de . No caso de operadores sobre espaços reais, o adjunto é simplesmente a transposta, então a condição se torna .
Essa propriedade é importante porque operadores normais têm boas propriedades, como serem diagonalizáveis por uma base ortonormal de vetores próprios.

Passo 4

Vamos agora verificar se todo operador ortonormal satisfaz a condição para ser normal. Sabemos que para um operador ortonormal U^T U U^T = U^T I , temos U^T = U^T . Vamos multiplicar ambos os lados por U U^T = U^T U à esquerda:
Simplificando, temos:
Isso mostra que , que é a mesma coisa que dizer que . Portanto, comuta com sua transposta:

Passo 5

Dado que , isso significa que o operador ortonormal satisfaz a condição para ser um operador normal, já que .

Resposta

Sim, todo operador ortonormal é um operador normal porque ele comuta com sua transposta, ou seja, , satisfazendo assim a definição de operador normal.

Exercícios relacionados