Verifique que se é uma matriz , então os traços de e estão definidos. Em seguida prove que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que, se é uma matriz de dimensão , então os traços de e estão definidos. Depois, a gente precisa provar que . Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como multiplicação de matrizes e traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço, denotado por , é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada . Para que o traço esteja definido, a matriz precisa ser quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas.
Passo 3
Agora, vamos analisar as matrizes e . Se é uma matriz , então:
resulta em uma matriz (pois multiplicamos por ).
resulta em uma matriz (multiplicando por ).
Ambas as matrizes são quadradas, então os traços e estão definidos.
Passo 4
Agora, vamos calcular os traços dessas matrizes. Primeiro, lembrando que o produto de por , , tem elementos que são combinações lineares das linhas de . Similarmente, combina as colunas de .
O traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de . Cada elemento na diagonal de é a soma dos produtos correspondentes das linhas de com elas mesmas, ou seja, é a soma dos quadrados dos elementos das linhas de .
Da mesma forma, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de , que corresponde à soma dos quadrados dos elementos das colunas de .
Passo 5
Para provar que , vamos expressar esses traços em termos dos elementos de .
Seja , onde e .
Então,
e
Passo 6
Observamos que ambas as expressões somam todos os quadrados dos elementos de . A ordem das somas não interfere no resultado final, então: