Verifique que se
é uma matriz
, então os traços de
e
estão definidos. Em seguida prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que, se
é uma matriz de dimensão
, então os traços de
e
estão definidos. Depois, a gente precisa provar que
. Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como multiplicação de matrizes e traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço, denotado por
, é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada
. Para que o traço esteja definido, a matriz precisa ser quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas.
Passo 3
Agora, vamos analisar as matrizes
e
. Se
é uma matriz
, então:
-
resulta em uma matriz (pois multiplicamos por ). -
resulta em uma matriz (multiplicando por ).
Ambas as matrizes são quadradas, então os traços
e
estão definidos.
Passo 4
Agora, vamos calcular os traços dessas matrizes. Primeiro, lembrando que o produto de
por
,
, tem elementos que são combinações lineares das linhas de
. Similarmente,
combina as colunas de
.
O traço de
é a soma dos elementos da diagonal principal de
. Cada elemento na diagonal de
é a soma dos produtos correspondentes das linhas de
com elas mesmas, ou seja, é a soma dos quadrados dos elementos das linhas de
.
Da mesma forma, o traço de
é a soma dos elementos da diagonal principal de
, que corresponde à soma dos quadrados dos elementos das colunas de
.
Passo 5
Para provar que
, vamos expressar esses traços em termos dos elementos de
.
Seja
, onde
e
.
Então,
e
Passo 6
Observamos que ambas as expressões somam todos os quadrados dos elementos de
. A ordem das somas não interfere no resultado final, então:
Portanto,
Resposta
Concluímos que
.