Verifique que se A é uma matriz m times n, então os traços de A A^T e A^T A estão definidos. Em seguida prove que tr(A A^T)=tr(A^T A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que, se A é uma matriz de dimensão m times n, então os traços de A A^T e A^T A estão definidos. Depois, a gente precisa provar que tr(A A^T) = tr(A^T A). Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como multiplicação de matrizes e traço de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço, denotado por tr(M), é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada M. Para que o traço esteja definido, a matriz precisa ser quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas.

Passo 3

Agora, vamos analisar as matrizes A A^T e A^T A. Se A é uma matriz m times n, então:
  • A A^T resulta em uma matriz m times m (pois multiplicamos m times n por n times m).
  • A^T A resulta em uma matriz n times n (multiplicando n times m por m times n).
Ambas as matrizes são quadradas, então os traços tr(A A^T) e tr(A^T A) estão definidos.

Passo 4

Agora, vamos calcular os traços dessas matrizes. Primeiro, lembrando que o produto de A por A^T, A A^T, tem elementos que são combinações lineares das linhas de A. Similarmente, A^T A combina as colunas de A.
O traço de A A^T é a soma dos elementos da diagonal principal de A A^T. Cada elemento na diagonal de A A^T é a soma dos produtos correspondentes das linhas de A com elas mesmas, ou seja, é a soma dos quadrados dos elementos das linhas de A.
Da mesma forma, o traço de A^T A é a soma dos elementos da diagonal principal de A^T A, que corresponde à soma dos quadrados dos elementos das colunas de A.

Passo 5

Para provar que tr(A A^T) = tr(A^T A), vamos expressar esses traços em termos dos elementos de A.
Seja A = [aij], onde i = 1,dots,m e j = 1,dots,n.
Então,
tr(A A^T) = sumi=1^m sumk=1^n aik aik = sumi=1^m sumk=1^n aik^2
e
tr(A^T A) = sumj=1^n sumk=1^m akj akj = sumj=1^n sumk=1^m akj^2

Passo 6

Observamos que ambas as expressões somam todos os quadrados dos elementos de A. A ordem das somas não interfere no resultado final, então:
sumi=1^m sumk=1^n aik^2 = sumj=1^n sumk=1^m akj^2
Portanto,
tr(A A^T) = tr(A^T A)

Resposta

Concluímos que tr(A A^T) = tr(A^T A).

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