Classifique os operadores abaixo: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Álgebra Linear que pede pra classificar um operador linear . Isso significa que temos uma transformação que pega vetores de 3 dimensões e os transforma em outros vetores de 3 dimensões. A gente vai precisar entender como essa transformação funciona e usar algumas ferramentas da matrizes para classificar esse operador.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Isso facilita muito na hora de analisar as propriedades da transformação. A transformação é dada por:
Então, a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada termo:
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 4

Como o operador é representado por uma matriz invertível, isso nos diz várias coisas importantes:
  1. Injetora: Cada vetor no domínio é mapeado para um vetor único na imagem. Não tem dois vetores diferentes que dão o mesmo resultado.
  2. Sobrejetora: A imagem de é todo o espaço . Ou seja, todo vetor em pode ser alcançado pela transformação .
  3. Bijeção: Combina as propriedades de injetora e sobrejetora, ou seja, há uma correspondência um-para-um entre os vetores do domínio e da imagem.

Passo 5

Além disso, como é invertível, podemos dizer que é um operador linear de full rank, ou seja, o posto da matriz é 3, o que corresponde à dimensão do espaço de chegada . Isso reforça que a transformação é bijetora.

Passo 6

Outro ponto interessante é que, por sendo invertível, a transformação não tem núcleo (ou kernel) diferente de zero. O único vetor que é mapeado para o vetor zero é o próprio vetor zero:
Isso confirma a injetividade da transformação.

Resposta

O operador é uma transformação linear invertível (bijetora) com posto 3, ou seja, é um operador linear de full rank que estabelece uma correspondência um-para-um entre e .

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(b) .
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