Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Álgebra Linear que pede pra classificar um operador linear . Isso significa que temos uma transformação que pega vetores de 3 dimensões e os transforma em outros vetores de 3 dimensões. A gente vai precisar entender como essa transformação funciona e usar algumas ferramentas da matrizes para classificar esse operador.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Isso facilita muito na hora de analisar as propriedades da transformação. A transformação é dada por:
Então, a matriz associada a é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa matriz det(A) = 1 cdot (2 cdot 5 - 2 cdot 2) - 2 cdot (2 cdot 5 - 2 cdot 3) + 3 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 3) é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de = 1 cdot (10 - 4) - 2 cdot (10 - 6) + 3 cdot (4 - 6) :
= 1 cdot 6 - 2 cdot 4 + 3 cdot (-2)
Calculando cada termo:
= 6 - 8 - 6
= -8
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz é invertível.
Passo 4
Como o operador é representado por uma matriz invertível, isso nos diz várias coisas importantes:
Injetora: Cada vetor no domínio é mapeado para um vetor único na imagem. Não tem dois vetores diferentes que dão o mesmo resultado.
Sobrejetora: A imagem de é todo o espaço . Ou seja, todo vetor em pode ser alcançado pela transformação .
Bijeção: Combina as propriedades de injetora e sobrejetora, ou seja, há uma correspondência um-para-um entre os vetores do domínio e da imagem.
Passo 5
Além disso, como é invertível, podemos dizer que é um operador linear de full rank, ou seja, o posto da matriz é 3, o que corresponde à dimensão do espaço de chegada . Isso reforça que a transformação é bijetora.
Passo 6
Outro ponto interessante é que, por sendo invertível, a transformação T(x, y, z) = 0 Rightarrow (x, y, z) = 0 não tem núcleo (ou kernel) diferente de zero. O único vetor que é mapeado para o vetor zero é o próprio vetor zero:
Isso confirma a injetividade da transformação.
Resposta
O operador é uma transformação linear invertível (bijetora) com posto 3, ou seja, é um operador linear de full rank que estabelece uma correspondência um-para-um entre e .