Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.

Passo 1

Beleza, a pergunta é para verificar quais das matrizes A, B e C são ortogonais. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a transposta de cada matriz multiplicada pela matriz original e ver se o resultado é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se a transposta dela ( ) multiplicada pela própria matriz resulta na matriz identidade ( ). Ou seja:
Isso significa que as colunas (ou linhas) da matriz são vetores ortonormais.

Passo 3

Vamos começar com a matriz :
Primeiro, encontramos a transposta de :

Passo 4

Agora, multiplicamos por :
$$
A^T \cdot A =
\cdot

$$
Esse resultado n��o é a matriz identidade, então não é ortogonal.

Passo 5

Agora vamos para a matriz :
Primeiro, encontramos a transposta de :
Note que, nesse caso, é simétrica, então .

Passo 6

Multiplicamos por :

Fazendo as contas:

Simplificando:
$$
=

$$
O resultado é a matriz identidade, então é uma matriz ortogonal.

Passo 7

Agora, vamos analisar a matriz :
Primeiro, encontramos a transposta de :

Passo 8

Multiplicamos por :
Fazendo as contas (cada elemento do produto):
Por exemplo, o primeiro elemento:
Repetindo para os outros elementos, vamos encontrar que:
O resultado é a matriz identidade, então é uma matriz ortogonal.

Resposta

As matrizes ortogonais são e .

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Seja a reta do plano que passa por e . Determine as seguintes equações que descrevem :
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©
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(d)
Determine uma equação geral, uma equação vetorial e equações paramétricas para o plano do espaço, nos seguintes casos:
(a) passa pelo ponto e é paralelo ao plano .
(b) passa pelo ponto e é perpendicular à reta descrita pelas equações .
© passa pelos pontos e .
(d) passa pelo ponto e é perpendicular aos planos e .