Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.
Passo 1
Beleza, a pergunta é para verificar quais das matrizes A, B e C são ortogonais. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a transposta de cada matriz multiplicada pela matriz original e ver se o resultado é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz é ortogonal se a transposta dela () multiplicada pela própria matriz resulta na matriz identidade (). Ou seja:
Isso significa que as colunas (ou linhas) da matriz são vetores ortonormais.
Passo 3
Vamos começar com a matriz :
Primeiro, encontramos a transposta de :
Passo 4
Agora, multiplicamos por :
$$
A^T \cdot A =
\cdot
$$
Esse resultado n��o é a matriz identidade, então não é ortogonal.
Passo 5
Agora vamos para a matriz :
Primeiro, encontramos a transposta de :
Note que, nesse caso, é simétrica, então .
Passo 6
Multiplicamos por :
Fazendo as contas:
Simplificando:
$$
=
$$
O resultado é a matriz identidade, então é uma matriz ortogonal.
Passo 7
Agora, vamos analisar a matriz :
Primeiro, encontramos a transposta de :
Passo 8
Multiplicamos por :
Fazendo as contas (cada elemento do produto):
Por exemplo, o primeiro elemento:
Repetindo para os outros elementos, vamos encontrar que:
O resultado é a matriz identidade, então é uma matriz ortogonal.