Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.
Passo 1
Beleza, a pergunta é para verificar quais das matrizes A, B e C são ortogonais. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a transposta de cada matriz multiplicada pela matriz original e ver se o resultado é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz
M^T cdot M = I é ortogonal se a transposta dela (
) multiplicada pela própria matriz resulta na matriz identidade (
). Ou seja:
Isso significa que as colunas (ou linhas) da matriz são vetores ortonormais.
Passo 3
Vamos começar com a matriz
A = 1 & -2 2 & 1 :
Primeiro, encontramos a transposta de
:
Passo 4
Agora, multiplicamos
A^T cdot A = 1 & 2 -2 & 1 cdot 1 & -2 2 & 1 = 1*1 + 2*2 & 1*(-2) + 2*1 -2*1 + 1*2 & -2*(-2) + 1*1 = 5 & 0 0 & 5 por
:
$$
A^T \cdot A =
\cdot
$$
Esse resultado n��o é a matriz identidade, então não é ortogonal.
Esse resultado n��o é a matriz identidade, então
Passo 5
Agora vamos para a matriz
B = 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 :
Primeiro, encontramos a transposta de
:
Note que, nesse caso,
é simétrica, então
.
Passo 6
Multiplicamos
B^T cdot B = 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 cdot 13 & 2 raiz23 2 raiz23 & -13 por
= (13)^2 + (2 raiz23)^2 & 13 cdot 2 raiz23 + 2 raiz23 cdot (-13) 2 raiz23 cdot 13 + (-13) cdot 2 raiz23 & (2 raiz23)^2 + (-13)^2 :
= 19 + 89 & 2 raiz29 - 2 raiz29 2 raiz29 - 2 raiz29 & 89 + 19 = 1 & 0 0 & 1
Fazendo as contas:
Simplificando:
$$
=
$$
O resultado é a matriz identidade, então é uma matriz ortogonal.
O resultado é a matriz identidade, então
Passo 7
Agora, vamos analisar a matriz
C = raiz63 & raiz33 & raiz33 -raiz33 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & raiz22 :
Primeiro, encontramos a transposta de
:
Passo 8
Multiplicamos
C^T cdot C = raiz63 & -raiz33 & 0 raiz33 & raiz66 & -raiz22 raiz33 & raiz66 & raiz22 cdot raiz63 & raiz33 & raiz33 -raiz33 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & raiz22 por
(raiz63)^2 + (-raiz33)^2 + 0^2 = 69 + 39 + 0 = 1 :
Fazendo as contas (cada elemento do produto):
Por exemplo, o primeiro elemento:
Por exemplo, o primeiro elemento:
Repetindo para os outros elementos, vamos encontrar que:
O resultado é a matriz identidade, então
é uma matriz ortogonal.
Resposta
As matrizes ortogonais são
e
.