Todo operador auto-adjunto é um operador normal? Por quê?
Passo 1
Vamos lá, você perguntou se todo operador auto-adjunto é também um operador normal e por quê. Estamos falando de operadores em álgebra linear, especialmente em espaços de Hilbert. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores auto-adjuntos e operadores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador normal. Um operador é chamado de normal se ele comuta com seu adjunto, ou seja:
Aqui, representa o operador adjunto de . Comutar significa que a ordem das multiplicações não altera o resultado.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é um operador auto-adjunto. Um operador é auto-adjunto se ele é igual ao seu próprio adjunto:
Isso significa que, para todo vetor no espaço, aplicar é o mesmo que aplicar .
Passo 4
Vamos juntar as duas definições para ver se todo operador auto-adjunto é normal. Se é auto-adjunto, então:
Agora, substituindo na condição de normalidade:
como . Portanto:
O que claramente é verdade, já que estamos multiplicando o mesmo operador. Isso mostra que comuta com .
Passo 5
Então, vimos que se um operador é auto-adjunto, ele satisfaz automaticamente a condição de comutar com seu adjunto, ou seja, ele é normal.
Resposta
Sim, todo operador auto-adjunto é um operador normal porque, ao ser igual ao seu adjunto, ele automaticamente comuta com ele, satisfazendo a condição de normalidade .