Todo operador auto-adjunto é um operador normal? Por quê?

Passo 1

Vamos lá, você perguntou se todo operador auto-adjunto é também um operador normal e por quê. Estamos falando de operadores em álgebra linear, especialmente em espaços de Hilbert. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são operadores auto-adjuntos e operadores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador normal. Um operador N N^* = N^* N é chamado de normal se ele comuta com seu adjunto, ou seja:
Aqui, representa o operador adjunto de . Comutar significa que a ordem das multiplicações não altera o resultado.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é um operador auto-adjunto. Um operador A = A^* é auto-adjunto se ele é igual ao seu próprio adjunto:
Isso significa que, para todo vetor no espaço, aplicar é o mesmo que aplicar .

Passo 4

Vamos juntar as duas definições para ver se todo operador auto-adjunto é normal. Se A = A^* é auto-adjunto, então:
A A^* = A A = A^* A
Agora, substituindo na condição de normalidade:
A A = A A
como . Portanto:
O que claramente é verdade, já que estamos multiplicando o mesmo operador. Isso mostra que comuta com .

Passo 5

Então, vimos que se um operador é auto-adjunto, ele satisfaz automaticamente a condição de comutar com seu adjunto, ou seja, ele é normal.

Resposta

Sim, todo operador auto-adjunto é um operador normal porque, ao ser igual ao seu adjunto, ele automaticamente comuta com ele, satisfazendo a condição de normalidade .

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