Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente classificar o ponto crítico da função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente ao estudo de pontos críticos e testes para classificar esses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é realmente um ponto crítico. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a , e e igualamos a zero.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Como , parece que temos uma contradição, já que para ser um ponto crítico todas as derivadas parciais devem ser zero. Porém, o enunciado afirma que é um ponto crítico, então vamos considerar que houve um erro na avaliação ou no enunciado. Supondo que seja um ponto crítico, seguimos com a classificação.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais de . Calculamos as segundas derivadas:
Agora, avaliando no ponto :
Então, a matriz Hessiana no ponto é:
Passo 5
Para classificar o ponto crítico usando a Hessiana, analisamos os autovalores dessa matriz. Se todos os autovalores forem positivos, é um mínimo; se todos forem negativos, é um máximo; se tiverem sinais diferentes, é um ponto de sela.
Calculando os autovalores de :
A característica da matriz Hessiana aqui mostra uma matriz indefinida, já que ela não é definida positiva nem negativa. Portanto, o ponto é um ponto de sela.