Prove que: Pausa para os seguintes exemplos, muito importantes. Complementando os exercícios anteriores, dê exemplos de dois números irracionais cuja soma seja racional. Dê exemplos semelhantes para o produto. Dê exemplo de dois números irracionais cujo quociente seja um número racional. Dê exemplo de dois números irracionais positivos, cuja soma seja um número racional.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para dar exemplos de pares de números irracionais que, quando somados, multiplicados ou divididos, resultem em números racionais. Para isso, vamos precisar entender o que são números irracionais e como combiná-los para obter resultados racionais.
Passo 2
Exemplo de dois números irracionais cuja soma é racional:
Vamos considerar os números
e
.
-
Por que são irracionais?
-
é um número irracional conhecido. -
também é irracional porque subtrair um número irracional de um número racional (como 2) resulta em um número irracional.
-
-
Somando-os:A soma é o número racional 2.
Passo 3
Exemplo de dois números irracionais cujo produto é racional:
Vamos usar
e
.
-
Por que são irracionais?
-
é irracional, e qualquer número irracional multiplicado por si mesmo continua sendo irracional.
-
-
Multiplicando-os:O produto é o número racional 2.
Passo 4
Exemplo de dois números irracionais cujo quociente é um número racional:
Vamos considerar
e
.
-
Por que são irracionais?
- Assim como antes,
é irracional.
- Assim como antes,
-
Dividindo-os:O quociente é o número racional 1.
Passo 5
Exemplo de dois números irracionais positivos cuja soma é um número racional:
Vamos pegar
e
.
-
Por que são irracionais?
-
é um número irracional. -
também é irracional porque subtrair um número irracional de um número racional (como 5) resulta em um número irracional.
-
-
Somando-os:A soma é o número racional 5.
Resposta
- Dois números irracionais cuja soma é racional:
e . - Dois números irracionais cujo produto é racional:
e , com produto igual a 2. - Dois números irracionais cujo quociente é racional:
e , com quociente igual a 1. - Dois números irracionais positivos cuja soma é racional:
e .
Exercícios relacionados
Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Classifique o ponto crítico
de
.
Demonstre que: Prove: se p e q são dois números primos distintos, então
p.q é um número irracional.
Determine as contrapositivas das seguintes sentenças. Empregue os mesmos modelos de apresentação para escrever cada contrapositiva.
, então
ou
.