Prove que: Pausa para os seguintes exemplos, muito importantes. Complementando os exercícios anteriores, dê exemplos de dois números irracionais cuja soma seja racional. Dê exemplos semelhantes para o produto. Dê exemplo de dois números irracionais cujo quociente seja um número racional. Dê exemplo de dois números irracionais positivos, cuja soma seja um número racional.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para dar exemplos de pares de números irracionais que, quando somados, multiplicados ou divididos, resultem em números racionais. Para isso, vamos precisar entender o que são números irracionais e como combiná-los para obter resultados racionais.

Passo 2

Exemplo de dois números irracionais cuja soma é racional:
Vamos considerar os números e .
  • Por que são irracionais?
    • é um número irracional conhecido.
    • também é irracional porque subtrair um número irracional de um número racional (como 2) resulta em um número irracional.
  • Somando-os:
    A soma é o número racional 2.

Passo 3

Exemplo de dois números irracionais cujo produto é racional:
Vamos usar e .
  • Por que são irracionais?
    • é irracional, e qualquer número irracional multiplicado por si mesmo continua sendo irracional.
  • Multiplicando-os:
    O produto é o número racional 2.

Passo 4

Exemplo de dois números irracionais cujo quociente é um número racional:
Vamos considerar e .
  • Por que são irracionais?
    • Assim como antes, é irracional.
  • Dividindo-os:
    O quociente é o número racional 1.

Passo 5

Exemplo de dois números irracionais positivos cuja soma é um número racional:
Vamos pegar e .
  • Por que são irracionais?
    • é um número irracional.
    • também é irracional porque subtrair um número irracional de um número racional (como 5) resulta em um número irracional.
  • Somando-os:
    A soma é o número racional 5.

Resposta

  1. Dois números irracionais cuja soma é racional: e .
  2. Dois números irracionais cujo produto é racional: e , com produto igual a 2.
  3. Dois números irracionais cujo quociente é racional: e , com quociente igual a 1.
  4. Dois números irracionais positivos cuja soma é racional: e .

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