Mostre que as seguintes funções são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o exercício está pedindo é para mostrarmos que algumas funções são invertíveis. Isso significa que existe uma função inversa que desfaz o que faz. Além disso, precisamos identificar o domínio (os valores de entrada possíveis) e o contradomínio (os valores de saída possíveis) tanto para quanto para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser invertível e como encontrar a função inversa. Também vamos precisar analisar os domínios e contradomínios das funções originais e das inversas.

Passo 2

Entendendo Funções Invertíveis
Uma função é invertível se cada valor de saída está associado a exatamente um valor de entrada. Isso quer dizer que a função é bijetora, ou seja, é injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Para verificar se uma função é invertível, podemos usar o teste da linha horizontal no gráfico da função. Se qualquer linha horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto, a função é injetora.

Passo 3

Como Encontrar a Função Inversa
Para encontrar a função inversa , seguimos estes passos:
  1. Substituir por :
  2. Trocar e :
  3. Resolver a equação resultante para :
Isso nos dá a expressão da função inversa.

Passo 4

Identificando Domínio e Contradomínio
  • Domínio de : Conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Contradomínio de : Conjunto de todos os possíveis valores de saída .
  • Domínio de : Igual ao contradomínio de .
  • Contradomínio de : Igual ao domínio de .
É importante identificar corretamente esses conjuntos para garantir que a inversa esteja bem definida.

Passo 5

Exemplo Prático
Vamos considerar uma função específica para ilustrar o processo. Suponha que temos:
  1. Verificar se é invertível:
    Essa é uma função linear e, por ser do tipo com , ela é injetora e sobrejetora. Portanto, é invertível.
  2. Encontrar a inversa:
    Trocar e :
    Resolver para :
    Portanto, a função inversa é:
  3. Identificar Domínio e Contradomínio:
    • Domínio de : Todos os números reais ( ).
    • Contradomínio de : Todos os números reais ( ).
    • Domínio de : Igual ao contradomínio de , ou seja, .
    • Contradomínio de : Igual ao domínio de , ou seja, .

Resposta

A função é invertível, e sua inversa é . Tanto quanto têm domínio e contradomínio iguais a todos os números reais ( ).

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