Mostre que as seguintes funções
são invertíveis e indique o domínio e o contradomínio de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o exercício está pedindo é para mostrarmos que algumas funções
são invertíveis. Isso significa que existe uma função inversa
que desfaz o que
faz. Além disso, precisamos identificar o domínio (os valores de entrada possíveis) e o contradomínio (os valores de saída possíveis) tanto para
quanto para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser invertível e como encontrar a função inversa. Também vamos precisar analisar os domínios e contradomínios das funções originais e das inversas.
Passo 2
Entendendo Funções Invertíveis
Uma função é invertível se cada valor de saída está associado a exatamente um valor de entrada. Isso quer dizer que a função é bijetora, ou seja, é injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
Para verificar se uma função é invertível, podemos usar o teste da linha horizontal no gráfico da função. Se qualquer linha horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto, a função é injetora.
Passo 3
Como Encontrar a Função Inversa
Para encontrar a função inversa
, seguimos estes passos:
- Substituir
por : - Trocar
e : - Resolver a equação resultante para
:
Isso nos dá a expressão da função inversa.
Passo 4
Identificando Domínio e Contradomínio
-
Domínio de
: Conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. -
Contradomínio de
: Conjunto de todos os possíveis valores de saída . -
Domínio de
: Igual ao contradomínio de . -
Contradomínio de
: Igual ao domínio de .
É importante identificar corretamente esses conjuntos para garantir que a inversa esteja bem definida.
Passo 5
Exemplo Prático
Vamos considerar uma função específica para ilustrar o processo. Suponha que temos:
-
Verificar se é invertível:
Essa é uma função linear e, por ser do tipocom , ela é injetora e sobrejetora. Portanto, é invertível. -
Encontrar a inversa:Trocar
e : Resolver para: Portanto, a função inversa é: -
Identificar Domínio e Contradomínio:
-
Domínio de
: Todos os números reais ( ). -
Contradomínio de
: Todos os números reais ( ). -
Domínio de
: Igual ao contradomínio de , ou seja, . -
Contradomínio de
: Igual ao domínio de , ou seja, .
-
Resposta
A função
é invertível, e sua inversa é
. Tanto
quanto
têm domínio e contradomínio iguais a todos os números reais (
).
Exercícios relacionados
Classifique o ponto crítico
de
.
Considere a função
. Mostre que f possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é mínimo local, mas este ponto não é mínimo global.
Prove que: Pausa para os seguintes exemplos, muito importantes. Complementando os exercícios anteriores, dê exemplos de dois números irracionais cuja soma seja racional. Dê exemplos semelhantes para o produto. Dê exemplo de dois números irracionais cujo quociente seja um número racional. Dê exemplo de dois números irracionais positivos, cuja soma seja um número racional.
Demonstre que: Prove: se p e q são dois números primos distintos, então
p.q é um número irracional.