Esboce o gráfico de e determine caso exista, a função para

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função e determinar, se existir, a função inversa . A função está definida de forma diferente em três intervalos de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções, gráficos e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função em cada intervalo:
  1. Para :
    Essa é uma função quadrática, que representa uma parábola.
  2. Para :
    Também é uma função quadrática, mas com coeficiente negativo, indicando que a parábola está virada para baixo.
  3. Para :
    Outra função quadrática, parabólica voltada para cima.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de cada parte:
  1. Para :
    Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado ou encontrando as raízes para entender melhor o formato da parábola.
  2. Para :
    Essa parábola tem vértice no ponto e abre para baixo.
  3. Para :
    Essa é uma parábola padrão com vértice na origem que abre para cima.

Passo 4

Após esboçar cada parte, devemos verificar a continuidade e a união das peças no gráfico geral de .

Passo 5

Para determinar se a função inversa existe, precisamos verificar se a função é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
  • Injetora: Uma função é injetora se cada valor de tem apenas um correspondente .
  • Sobrejetora: A função cobre todo o conjunto de chegada, que neste caso é .
Vamos analisar cada intervalo para verificar a invertibilidade.

Passo 6

Para :
Calculando a derivada para verificar a monotonicidade:
Para , , o que significa que a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Portanto, é injetora aqui.
Para :
A derivada é:
Para , varia de a , indicando que a função é estritamente decrescente e, portanto, injetora.
Para :
A derivada é:
Para , , indicando que a função é estritamente crescente, também injetora.

Passo 7

Como a função é injetora em todos os intervalos definidos e cobre todos os valores reais, ela é bijetora. Portanto, a função inversa existe.

Passo 8

Vamos determinar para cada intervalo:
  1. Para correspondente a :
    Resolvendo para :
    Aplicando a fórmula de Bhaskara:
    Como , escolhemos o sinal negativo:
  2. Para correspondente a :
    Resolvendo para :
    Como , mantemos a raiz positiva:
  3. Para correspondente a :
    Resolvendo para :
    Como , mantemos a raiz positiva:

Resposta

A função inversa é dada por:

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