Esboce o gráfico de e determine caso exista, a função para
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função e determinar, se existir, a função inversa . A função está definida de forma diferente em três intervalos de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções, gráficos e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função em cada intervalo:
Para :
Essa é uma função quadrática, que representa uma parábola.
Para :
Também é uma função quadrática, mas com coeficiente negativo, indicando que a parábola está virada para baixo.
Para :
Outra função quadrática, parabólica voltada para cima.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de cada parte:
Para :
Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado ou encontrando as raízes para entender melhor o formato da parábola.
Para :
Essa parábola tem vértice no ponto e abre para baixo.
Para :
Essa é uma parábola padrão com vértice na origem que abre para cima.
Passo 4
Após esboçar cada parte, devemos verificar a continuidade e a união das peças no gráfico geral de .
Passo 5
Para determinar se a função inversa existe, precisamos verificar se a função é bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
Injetora: Uma função é injetora se cada valor de tem apenas um correspondente .
Sobrejetora: A função cobre todo o conjunto de chegada, que neste caso é .
Vamos analisar cada intervalo para verificar a invertibilidade.
Passo 6
Para :
Calculando a derivada para verificar a monotonicidade:
Para , , o que significa que a função é estritamente decrescente nesse intervalo. Portanto, é injetora aqui.
Para :
A derivada é:
Para , varia de a , indicando que a função é estritamente decrescente e, portanto, injetora.
Para :
A derivada é:
Para , , indicando que a função é estritamente crescente, também injetora.
Passo 7
Como a função é injetora em todos os intervalos definidos e cobre todos os valores reais, ela é bijetora. Portanto, a função inversa existe.