Considere a função . Mostre que f possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é mínimo local, mas este ponto não é mínimo global.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para mostrarmos que ela tem um único ponto crítico, que esse ponto é um mínimo local, mas que não é um mínimo global. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar derivadas parciais para localizar os pontos críticos e depois usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da segunda equação, temos duas possibilidades: ou .

Passo 5

Se , substituindo na primeira equação:
Então, um ponto crítico é .
Se , então . Substituindo na primeira equação:
Isto não é verdadeiro, então não há pontos críticos nessa caso.

Passo 6

Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 7

Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo local. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:

Passo 8

Avaliando no ponto :

Passo 9

A matriz Hessiana no ponto é:
Os valores próprios dessa matriz são positivos (2 e 2), o que indica que o ponto é um mínimo local.

Passo 10

Por fim, vamos mostrar que esse mínimo local não é global. Vamos observar o comportamento da função quando tende ao infinito. Por exemplo, se fixarmos :
À medida que aumenta, também aumenta sem limite, indicando que não há um mínimo global, já que a função pode crescer indefinidamente.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um mínimo local, mas não é um mínimo global.

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