Considere a função
. Mostre que f possui um único ponto crítico, que este ponto crítico é mínimo local, mas este ponto não é mínimo global.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e pede para mostrarmos que ela tem um único ponto crítico, que esse ponto é um mínimo local, mas que não é um mínimo global. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente encontrar derivadas parciais para localizar os pontos críticos e depois usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Da segunda equação, temos duas possibilidades:
ou
.
Passo 5
Se
, substituindo na primeira equação:
Então, um ponto crítico é
.
Se
, então
. Substituindo na primeira equação:
Isto não é verdadeiro, então não há pontos críticos nessa caso.
Passo 6
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo local. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais.
Calculando as segundas derivadas:
Passo 8
Avaliando no ponto
:
Passo 9
A matriz Hessiana no ponto
é:
Os valores próprios dessa matriz são positivos (2 e 2), o que indica que o ponto
é um mínimo local.
Passo 10
Por fim, vamos mostrar que esse mínimo local não é global. Vamos observar o comportamento da função quando
tende ao infinito. Por exemplo, se fixarmos
:
À medida que
aumenta,
também aumenta sem limite, indicando que não há um mínimo global, já que a função pode crescer indefinidamente.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um mínimo local, mas não é um mínimo global.