Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede e o que vamos usar para resolver. A gente tem uma série infinita dada por:
O enunciado pede para a gente encontrar:
(a) Os primeiros três termos da soma ( , e );
(b) Uma expressão geral para a soma ;
© A soma total da série, se ela convergir.
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar frações complicadas em termos mais fáceis de somar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da soma usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:

Passo 4

Para que a igualdade seja válida para todo n, os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais dos dois lados. Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora, podemos reescrever a fração original:
E a série fica:

Passo 7

Vamos agora calcular os primeiros três termos da soma para encontrar , e .
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Somando os três primeiros termos:
Observamos que e se cancelam, ficando:
Então:

Passo 9

Para encontrar a soma geral , percebemos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos até o n-ésimo termo:

Passo 10

Finalmente, para encontrar a soma da série infinita, precisamos ver o limite quando tende ao infinito:
Então, a série converge e a soma total é .

Resposta

(a) , e ;
(b) ;
© A soma da série é .

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Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(h)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(b)