Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede e o que vamos usar para resolver. A gente tem uma série infinita dada por:
O enunciado pede para a gente encontrar:
(a) Os primeiros três termos da soma ( ,
e
);
(b) Uma expressão geral para a soma ;
© A soma total da série, se ela convergir.
(a) Os primeiros três termos da soma (
(b) Uma expressão geral para a soma
© A soma total da série, se ela convergir.
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar frações complicadas em termos mais fáceis de somar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da soma usando frações parciais. Queremos escrever:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
Passo 4
Para que a igualdade seja válida para todo n, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais dos dois lados. Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Agora, podemos reescrever a fração original:
E a série fica:
Passo 7
Vamos agora calcular os primeiros três termos da soma para encontrar
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Somando os três primeiros termos:
Observamos que
e
se cancelam, ficando:
Então:
Passo 9
Para encontrar a soma geral
, percebemos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos até o n-ésimo termo:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a soma da série infinita, precisamos ver o limite quando
tende ao infinito:
Então, a série converge e a soma total é
.
Resposta
(a)
,
e
;
(b)
;
© A soma da série é
.
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Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(h)
(h)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Classifique os pontos críticos de:
(b)
(b)