Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
2 sumn=1^infty 5(5 n+2)(5 n+7)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede e o que vamos usar para resolver. A gente tem uma série infinita dada por:
2 sumn=1^infty 5(5n + 2)(5n + 7)
O enunciado pede para a gente encontrar:
(a) Os primeiros três termos da soma ( S1, S2 e S3);
(b) Uma expressão geral para a soma Sn;
© A soma total da série, se ela convergir.
Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a simplificar frações complicadas em termos mais fáceis de somar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da soma usando frações parciais. Queremos escrever:
5(5n + 2)(5n + 7) = A5n + 2 + B5n + 7
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (5n + 2)(5n + 7) para eliminar os denominadores:
5 = A(5n + 7) + B(5n + 2)
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
5 = (A + B)5n + (7A + 2B)

Passo 4

Para que a igualdade seja válida para todo n, os coeficientes de n e os termos constantes devem ser iguais dos dois lados. Então, temos o sistema de equações:
  1. A + B = 0
  2. 7A + 2B = 5

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, A = -B. Substituindo na segunda equação:
7(-B) + 2B = 5 -7B + 2B = 5 -5B = 5 B = -1
Então, A = -B = 1.

Passo 6

Agora, podemos reescrever a fração original:
5(5n + 2)(5n + 7) = 15n + 2 - 15n + 7
E a série fica:
2 sumn=1^infty ( 15n + 2 - 15n + 7 )

Passo 7

Vamos agora calcular os primeiros três termos da soma para encontrar S1, S2 e S3.
Para n=1:
15(1) + 2 - 15(1) + 7 = 17 - 112
Para n=2:
15(2) + 2 - 15(2) + 7 = 112 - 117
Para n=3:
15(3) + 2 - 15(3) + 7 = 117 - 122

Passo 8

Somando os três primeiros termos:
S3 = 2 ( (17 - 112) + (112 - 117) + (117 - 122) )
Observamos que 112 e 117 se cancelam, ficando:
S3 = 2 ( 17 - 122 ) = 2 ( 22 - 77 times 22 ) = 2 ( 15154 ) = 30154 = 1577
Então:
S1 = 2 ( 17 - 112 ) = 1084 = 542 S2 = 2 ( 17 - 117 ) = 20119 S3 = 1577

Passo 9

Para encontrar a soma geral Sn, percebemos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos até o n-ésimo termo:
Sn = 2 ( 17 - 15n + 7 )

Passo 10

Finalmente, para encontrar a soma da série infinita, precisamos ver o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = 2 ( 17 - 0 ) = 27
Então, a série converge e a soma total é 27.

Resposta

(a) S1 = 542, S2 = 20119 e S3 = 1577;
(b) Sn = 2 ( 17 - 15n + 7 );
© A soma da série é 27.

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