Classifique os pontos críticos de:
(d) f(x, y) = 2 x^3 - 3 x^2 y + 6 x^2 - 6 y^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a função e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para ver se os pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
Já a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, podemos isolar :

Passo 4

Substituindo na primeira equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:

Passo 5

Resolvendo :
Para a equação quadrática:
O discriminante , que é negativo, então não há soluções reais além de .

Passo 6

Com , substituímos na expressão de :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 7

Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
No ponto :

Passo 8

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como , isso indica que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é , que é um ponto de sela.

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