Classifique os pontos críticos de:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar e classificar os pontos críticos dela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para ver se os pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Já a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação, podemos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na primeira equação:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Passo 5
Resolvendo
:
Para a equação quadrática:
O discriminante
, que é negativo, então não há soluções reais além de
.
Passo 6
Com
, substituímos na expressão de
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esse ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
No ponto
:
Passo 8
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como
, isso indica que o ponto é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função é
, que é um ponto de sela.
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é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
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(b)
(b)
Classifique os pontos críticos de:
(h)
(h)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.