Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
1 sumn=1^infty-2(2 n+5)(2 n+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para encontrar algumas somas parciais e a soma geral de uma série infinita. A série que temos é:
sumn=1^infty -2(2n+5)(2n+3)
Vamos precisar entender como somar termos dessa forma, provavelmente usando frações parciais para simplificar. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as somas parciais S1 = -2(2(1)+5)(2(1)+3) = -2(7)(5) = -235 e . As somas parciais representam a soma dos primeiros termos da série.
Para , temos apenas o primeiro termo ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular -2(2(2)+5)(2(2)+3) = -2(9)(7) = -263 , que é a soma dos dois primeiros termos ( S2 = S1 + termo quando n = 2 = -235 - 263 e -235 - 263 = -( 2 times 9315 + 2 times 5315 ) = -18 + 10315 = -28315 = -445 ):
Para :
Então,
Vamos somar essas frações:

Passo 4

Agora, vamos calcular -2(2(3)+5)(2(3)+3) = -2(11)(9) = -299 , que inclui o termo quando S3 = S2 + termo quando n = 3 = -445 - 299 :
Para -445 - 299 = -( 4 times 11495 + 2 times 5495 ) = -44 + 10495 = -54495 = -655 :
Assim,
Somando as frações:

Passo 5

Até aqui, encontramos:
S1 = -235, S2 = -445, S3 = -655
Agora, vamos para a parte (b), encontrar uma expressão geral para .

Passo 6

Para encontrar -2(2n+5)(2n+3) = A2n+3 + B2n+5 , vamos primeiro simplificar o termo geral usando frações parciais. Queremos expressar:
-2 = A(2n+5) + B(2n+3)
Multiplicando ambos os lados por -2 = (2A + 2B)n + (5A + 3B) :
2A + 2B = 0 e 5A + 3B = -2
Isso nos dá:
5(-B) + 3B = -2 Rightarrow -5B + 3B = -2 Rightarrow -2B = -2 Rightarrow B = 1
Para que isso seja válido para todo -2(2n+5)(2n+3) = -12n+3 + 12n+5 , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Portanto,

Passo 7

Agora, somamos os termos de 1 a Sn = sumk=1^n ( -12k+3 + 12k+5 ) :
Sn = ( -15 + 17 ) + ( -17 + 19 ) + cdots + ( -12n+3 + 12n+5 )
Isso se torna:
Sn = -15 + 12n+5
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:

Passo 8

Então, temos a expressão geral para a soma parcial:
Sn = -15 + 12n+5

Passo 9

Finalmente, vamos para a parte ©, encontrar a soma da série infinita, se ela for convergente.
Para isso, calculamos o limite de limn to infty Sn = limn to infty ( -15 + 12n+5 ) = -15 + 0 = -15 quando tende ao infinito:

Resposta

(a) , ,
(b)
© A soma da série é

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