Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para encontrar algumas somas parciais e a soma geral de uma série infinita. A série que temos é:
Vamos precisar entender como somar termos dessa forma, provavelmente usando frações parciais para simplificar. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as somas parciais
e
. As somas parciais representam a soma dos primeiros termos da série.
Para
, temos apenas o primeiro termo (
):
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a soma dos dois primeiros termos (
e
):
Para
:
Então,
Vamos somar essas frações:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que inclui o termo quando
:
Para
:
Assim,
Somando as frações:
Passo 5
Até aqui, encontramos:
Agora, vamos para a parte (b), encontrar uma expressão geral para
.
Passo 6
Para encontrar
, vamos primeiro simplificar o termo geral usando frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
.
Substituindo na segunda equação:
Então,
.
Portanto,
Passo 7
Agora, somamos os termos de 1 a
:
Isso se torna:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:
Passo 8
Então, temos a expressão geral para a soma parcial:
Passo 9
Finalmente, vamos para a parte ©, encontrar a soma da série infinita, se ela for convergente.
Para isso, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
(a)
,
,
(b)
© A soma da série é
(b)
© A soma da série é
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Classifique os pontos críticos de:
(h)
(h)
Classifique os pontos críticos de:
(d)
(d)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.