Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método do Exemplo 1 para encontrar algumas somas parciais e a soma geral de uma série infinita. A série que temos é:
Vamos precisar entender como somar termos dessa forma, provavelmente usando frações parciais para simplificar. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as somas parciais e . As somas parciais representam a soma dos primeiros termos da série.
Para , temos apenas o primeiro termo ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a soma dos dois primeiros termos ( e ):
Para :
Então,
Vamos somar essas frações:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que inclui o termo quando :
Para :
Assim,
Somando as frações:

Passo 5

Até aqui, encontramos:
Agora, vamos para a parte (b), encontrar uma expressão geral para .

Passo 6

Para encontrar , vamos primeiro simplificar o termo geral usando frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso nos dá:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Portanto,

Passo 7

Agora, somamos os termos de 1 a :
Isso se torna:
Observamos que muitos termos se cancelam, restando:

Passo 8

Então, temos a expressão geral para a soma parcial:

Passo 9

Finalmente, vamos para a parte ©, encontrar a soma da série infinita, se ela for convergente.
Para isso, calculamos o limite de quando tende ao infinito:

Resposta

(a) , ,
(b)
© A soma da série é

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(d)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.