Classifique os pontos críticos de:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrando onde a derivada parcial é zero e depois analisando a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde todas as derivadas parciais de iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que nunca é zero, então temos que:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para classificar esse ponto crítico, vamos utilizar a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função. A matriz Hessiana é dada por:
Vamos calcular cada elemento da matriz Hessiana.

Passo 6

Calculando as segundas derivadas parciais:

Passo 7

Agora, avaliamos essas segundas derivadas no ponto crítico :
Então, a matriz Hessiana no ponto é:

Passo 8

Para classificar o ponto crítico, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como e , isso indica que o ponto é um mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico da função é , que é um mínimo local.

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(d)
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(d)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.
Use o método do Exemplo 1 para achar (a) e ; (b) ; © a soma da série, se for convergente.