Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrando onde a derivada parcial é zero e depois analisando a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde todas as derivadas parciais de iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a e .
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que nunca é zero, então temos que:
Portanto, o único ponto crítico é .
Passo 5
Para classificar esse ponto crítico, vamos utilizar a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função. A matriz Hessiana é dada por:
Vamos calcular cada elemento da matriz Hessiana.
Passo 6
Calculando as segundas derivadas parciais:
Passo 7
Agora, avaliamos essas segundas derivadas no ponto crítico :
Então, a matriz Hessiana no ponto é:
Passo 8
Para classificar o ponto crítico, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Como e , isso indica que o ponto é um mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico da função é , que é um mínimo local.