Classifique os pontos críticos de:
(f)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada, que nos ajudam a identificar se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular e e resolver quando elas forem zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Igualando a zero:
Isso nos dá duas possibilidades: ou .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Igualando a zero:
Aqui, também temos duas possibilidades: ou .

Passo 5

Agora, vamos resolver os sistemas resultantes das equações das derivadas parciais:
  1. Se :
Então, temos o ponto crítico .
  1. Se :
Novamente, obtemos o ponto .
  1. Se :
Substituindo na equação :
Isso indica que qualquer par que satisfaz é um ponto crítico, além do ponto .

Passo 6

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 7

Vamos analisar o discriminante para classificar os pontos:
  1. Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
  1. Para os pontos que satisfazem :
Substituindo :
Quando , o teste é inconclusivo. Entretanto, observando as derivadas parciais:
Como , podemos concluir que esses pontos são mínimos locais.

Resposta

Todos os pontos que satisfazem são mínimos locais e o ponto é um ponto de sela.

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