Classifique os pontos críticos de:
(f)
(f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício de classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada, que nos ajudam a identificar se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, vamos calcular
e
e resolver quando elas forem zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Igualando a zero:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Igualando a zero:
Aqui, também temos duas possibilidades:
ou
.
Passo 5
Agora, vamos resolver os sistemas resultantes das equações das derivadas parciais:
- Se
:
Então, temos o ponto crítico
.
- Se
:
Novamente, obtemos o ponto
.
- Se
:
Substituindo na equação
:
Isso indica que qualquer par
que satisfaz
é um ponto crítico, além do ponto
.
Passo 6
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos analisar o discriminante
para classificar os pontos:
- Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
- Para os pontos que satisfazem
:
Substituindo
:
Quando
, o teste é inconclusivo. Entretanto, observando as derivadas parciais:
Como
, podemos concluir que esses pontos são mínimos locais.
Resposta
Todos os pontos que satisfazem
são mínimos locais e o ponto
é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Classifique os pontos críticos de:
(e)
(e)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
(4)
(4)
Classifique os pontos críticos de:
(i)
(i)
Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
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5.
5.