Classifique os pontos critícos da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para "Classificar os pontos críticos da função ". Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com a identificação e classificação de pontos críticos de uma função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde ambas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois determinar a natureza desses pontos usando a segunda derivada, ou seja, a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo a primeira equa�o , temos duas possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos dois pontos críticos: e .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Então, temos mais dois pontos críticos: e .

Passo 5

Agora que encontramos os pontos críticos , , e , vamos classificá-los. Para isso, usamos a segunda derivada e a matriz Hessiana, que nos ajuda a determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
A matriz Hessiana é dada por:
O determinante da Hessiana é:

Passo 6

Vamos analisar cada ponto crítico:
  1. Ponto :
    Como , este ponto é um ponto de sela.
  2. Ponto :
    Também é um ponto de sela.
  3. Ponto :
    Além disso, , então este ponto é um mínimo local.
  4. Ponto :
    E , então este ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • e : Pontos de sela.
  • : Mínimo local.
  • : Máximo local.

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