Classifique os pontos critícos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para "Classificar os pontos críticos da função
". Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com a identificação e classificação de pontos críticos de uma função de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde ambas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois determinar a natureza desses pontos usando a segunda derivada, ou seja, a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, temos o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo a primeira equa�o
, temos duas possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituindo
na segunda equação:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação:
Então, temos mais dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Agora que encontramos os pontos críticos
,
,
e
, vamos classificá-los. Para isso, usamos a segunda derivada e a matriz Hessiana, que nos ajuda a determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
A matriz Hessiana
é dada por:
O determinante da Hessiana é:
Passo 6
Vamos analisar cada ponto crítico:
-
Ponto
: Como, este ponto é um ponto de sela. -
Ponto
: Também é um ponto de sela. -
Ponto
: Além disso,, então este ponto é um mínimo local. -
Ponto
: E, então este ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
e : Pontos de sela. -
: Mínimo local. -
: Máximo local.
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da função
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.
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.
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,
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