Usando o método dos multiplicadores de Lagrange encontre a área do maior retângulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente sobre otimização com restrições. A missão aqui é encontrar a área do maior retângulo que pode ser desenhado dentro da elipse definida pela equação , com os lados do retângulo paralelos aos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange para maximizar uma função sob uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que estamos tentando maximizar e qual é a restrição. A gente quer maximizar a área do retângulo. Se considerarmos que os vértices do retângulo estão nos pontos , , , e , então a largura do retângulo será e a altura será . Assim, a área do retângulo é:
Então, nossa função objetivo é .

Passo 3

Agora, vamos considerar a restrição imposta pela elipse. A elipse está definida por:
Essa é a equação que relaciona e para os pontos que estão na elipse. Nosso objetivo é maximizar sob a condição de que e satisfaçam essa equação.

Passo 4

Aqui entra o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função objetivo ( ) é paralelo ao gradiente da restrição ( ), onde .
As equações de Lagrange são:
E a restrição:
Vamos calcular os gradientes:

Passo 5

Agora igualamos os gradientes multiplicados por :
E lembrando da restrição:

Passo 6

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar uma relação entre e .
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para :

Passo 7

Resolvendo a equação acima:
Então, temos:

Passo 8

Agora, substituímos na restrição da elipse:

Passo 9

Com , encontramos usando :

Passo 10

Agora, calculamos a área máxima :

Resposta

A área máxima do retângulo é .

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Determine o valor máximo e o valor mínimo da função na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil
Determine o valor máximo da função na região compacta : .
Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo e o valor mínimo da função
sujeita à restrição .
Classifique os pontos critícos da função .