Usando o método dos multiplicadores de Lagrange encontre a área do maior retângulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente sobre otimização com restrições. A missão aqui é encontrar a área do maior retângulo que pode ser desenhado dentro da elipse definida pela equação
, com os lados do retângulo paralelos aos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange para maximizar uma função sob uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que estamos tentando maximizar e qual é a restrição. A gente quer maximizar a área
do retângulo. Se considerarmos que os vértices do retângulo estão nos pontos
,
,
, e
, então a largura do retângulo será
e a altura será
. Assim, a área
do retângulo é:
Então, nossa função objetivo é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a restrição imposta pela elipse. A elipse está definida por:
Essa é a equação que relaciona
e
para os pontos que estão na elipse. Nosso objetivo é maximizar
sob a condição de que
e
satisfaçam essa equação.
Passo 4
Aqui entra o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é encontrar os pontos onde o gradiente da função objetivo (
) é paralelo ao gradiente da restrição (
), onde
.
As equações de Lagrange são:
E a restrição:
Vamos calcular os gradientes:
Passo 5
Agora igualamos os gradientes multiplicados por
:
E lembrando da restrição:
Passo 6
Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar uma relação entre
e
.
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para
:
Passo 7
Resolvendo a equação acima:
Então, temos:
Passo 8
Agora, substituímos
na restrição da elipse:
Passo 9
Com
, encontramos
usando
:
Passo 10
Agora, calculamos a área máxima
:
Resposta
A área máxima do retângulo é
.
Exercícios relacionados
Determine o valor máximo e o valor mínimo da função
na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil
Determine o valor máximo
da função
na região compacta
:
.
Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo
e o valor mínimo
da função
sujeita à restrição
.
Classifique os pontos critícos da função
.