Consideremos uma chapa com a forma suponhamos que a temperatura em seja dada por . Determine o ponto mais quente e o mais frio de D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa com uma forma redonda, definida por , que é basicamente um círculo de raio 2. A temperatura nessa chapa está dada pela função . Nosso objetivo é encontrar onde nessa chapa a temperatura é a mais alta (ponto mais quente) e a mais baixa (ponto mais frio).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e analisar tanto os pontos internos quanto os da borda da chapa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da chapa onde a temperatura pode ter máximos ou mínimos. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da chapa. Usamos a equação do domínio:
Está dentro, então esse ponto é válido para considerar.
Vamos calcular a temperatura nesse ponto:

Passo 4

Agora, precisamos verificar a temperatura na borda da chapa, onde . Uma maneira fácil de fazer isso é usando coordenadas polares. Vamos parametrizar a borda com:
onde varia de a .
Substituindo na função de temperatura:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os máximos e mínimos nessa expressão, vamos definir :
Essa é uma função quadrática em , e seu gráfico é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo). O vértice dessa parábola nos dá o valor máximo.
Calculamos a derivada em relação a e igualamos a zero:
Então, a temperatura máxima na borda ocorre quando .

Passo 6

Vamos encontrar as coordenadas correspondentes a :
Portanto, o ponto na borda onde a temperatura é máxima é com temperatura .
Também devemos verificar as extremidades para e :
  • Para :
  • Para :

Resposta

O ponto mais quente da chapa está em com temperatura , e o ponto mais frio está em com temperatura .

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Classifique os pontos critícos da função .
Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo e o valor mínimo da função
sujeita à restrição .
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Determine o domínio das funções vetoriais,