Consideremos uma chapa com a forma
suponhamos que a temperatura em
seja dada por
. Determine o ponto mais quente e o mais frio de D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa com uma forma redonda, definida por
, que é basicamente um círculo de raio 2. A temperatura nessa chapa está dada pela função
. Nosso objetivo é encontrar onde nessa chapa a temperatura é a mais alta (ponto mais quente) e a mais baixa (ponto mais frio).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e analisar tanto os pontos internos quanto os da borda da chapa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da chapa onde a temperatura pode ter máximos ou mínimos. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro da chapa. Usamos a equação do domínio:
Está dentro, então esse ponto é válido para considerar.
Vamos calcular a temperatura nesse ponto:
Passo 4
Agora, precisamos verificar a temperatura na borda da chapa, onde
. Uma maneira fácil de fazer isso é usando coordenadas polares. Vamos parametrizar a borda com:
onde
varia de
a
.
Substituindo na função de temperatura:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os máximos e mínimos nessa expressão, vamos definir
:
Essa é uma função quadrática em
, e seu gráfico é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). O vértice dessa parábola nos dá o valor máximo.
Calculamos a derivada em relação a
e igualamos a zero:
Então, a temperatura máxima na borda ocorre quando
.
Passo 6
Vamos encontrar as coordenadas correspondentes a
:
Portanto, o ponto na borda onde a temperatura é máxima é
com temperatura
.
Também devemos verificar as extremidades para
e
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O ponto mais quente da chapa está em
com temperatura
, e o ponto mais frio está em
com temperatura
.
Exercícios relacionados
Classifique os pontos critícos da função
.
Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo
e o valor mínimo
da função
sujeita à restrição
.
A temperatura em uma placa de metal é dada por
,
em centímetros e a temperatura
em
. Qual a direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto
? Determine a taxa de crescimento.
Determine o domínio das funções vetoriais,