A temperatura em uma placa de metal é dada por
,
em centímetros e a temperatura
em
. Qual a direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto
? Determine a taxa de crescimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que representa a temperatura numa placa de metal, dada por
. A gente precisa descobrir qual é a direção onde a temperatura cresce mais rapidamente a partir do ponto
e também determinar qual é essa taxa de crescimento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior aumento em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A fórmula do gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, o vetor gradiente fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Passo 5
A direção de maior crescimento da temperatura é dada pela direção do vetor gradiente
. Para expressar isso como um vetor unitário (que indica apenas a direção), vamos normalizar o gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor gradiente:
Então, a direção unitária é:
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto
é aproximadamente na direção do vetor
e a taxa de crescimento é cerca de
.
Exercícios relacionados
Consideremos uma chapa com a forma
suponhamos que a temperatura em
seja dada por
. Determine o ponto mais quente e o mais frio de D.
Classifique os pontos critícos da função
.
Determine o domínio das funções vetoriais,
Mostre que a curva com equações paramétricas
.
passa pelos pontos
mas não passa pelo ponto
.