A temperatura em uma placa de metal é dada por , em centímetros e a temperatura em . Qual a direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto ? Determine a taxa de crescimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que representa a temperatura numa placa de metal, dada por . A gente precisa descobrir qual é a direção onde a temperatura cresce mais rapidamente a partir do ponto e também determinar qual é essa taxa de crescimento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que nos ajuda a encontrar a direção de maior aumento em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
A fórmula do gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, o vetor gradiente fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto :

Passo 5

A direção de maior crescimento da temperatura é dada pela direção do vetor gradiente . Para expressar isso como um vetor unitário (que indica apenas a direção), vamos normalizar o gradiente.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor gradiente:
Então, a direção unitária é:

Resposta

A direção de maior crescimento da temperatura a partir do ponto é aproximadamente na direção do vetor e a taxa de crescimento é cerca de .

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Consideremos uma chapa com a forma suponhamos que a temperatura em seja dada por . Determine o ponto mais quente e o mais frio de D.
Classifique os pontos critícos da função .
Determine o domínio das funções vetoriais,
Mostre que a curva com equações paramétricas . passa pelos pontos mas não passa pelo ponto .