Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo e o valor mínimo da função
sujeita à restrição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições. A restrição aqui é . Para isso, vamos seguir passo a passo o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função Lagrangeana. Isso significa que a gente cria uma nova função que combina a função que queremos otimizar com a restrição . A Lagrangeana fica assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange, que vai nos ajudar a incorporar a restrição na otimização.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangeana em relação a , e e igualá-las a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivando em relação a :
Derivando em relação a :
E, finalmente, derivando em relação a (que nos retorna a restrição original):

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Igualando as duas expressões para :
Agora, substituímos na restrição:
Se , então .
Se , então .

Passo 5

Vamos calcular os valores de para os pontos encontrados.
Para :
Para :

Resposta

O valor máximo é 11 e o valor mínimo é -13.

Exercícios relacionados

Usando o método dos multiplicadores de Lagrange encontre a área do maior retângulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse .
Determine o valor máximo e o valor mínimo da função na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil
Classifique os pontos critícos da função .
Consideremos uma chapa com a forma suponhamos que a temperatura em seja dada por . Determine o ponto mais quente e o mais frio de D.