Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo M e o valor mínimo m da função
f(x, y) = x - 3y - 1
sujeita à restrição x^2 + 3y^2 = 36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função usando multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições. A restrição aqui é . Para isso, vamos seguir passo a passo o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função Lagrangeana. Isso significa que a gente cria uma nova função que combina a função que queremos otimizar com a restrição . A Lagrangeana fica assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange, que vai nos ajudar a incorporar a restrição na otimização.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangeana em relação a , e e igualá-las a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivando em relação a :
Derivando em relação a :
E, finalmente, derivando em relação a (que nos retorna a restrição original):

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Igualando as duas expressões para :
Agora, substituímos na restrição:
Se , então .
Se , então .

Passo 5

Vamos calcular os valores de para os pontos encontrados.
Para :
Para :

Resposta

O valor máximo é 11 e o valor mínimo é -13.

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