Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor máximo
e o valor mínimo
da função
sujeita à restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo
e mínimo
da função
usando multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições. A restrição aqui é
. Para isso, vamos seguir passo a passo o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função Lagrangeana. Isso significa que a gente cria uma nova função que combina a função que queremos otimizar
com a restrição
. A Lagrangeana
fica assim:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange, que vai nos ajudar a incorporar a restrição na otimização.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangeana em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Essas equações vão nos ajudar a encontrar os pontos críticos.
Primeiro, derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
E, finalmente, derivando em relação a
(que nos retorna a restrição original):
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Igualando as duas expressões para
:
Agora, substituímos
na restrição:
Se
, então
.
Se
, então
.
Passo 5
Vamos calcular os valores de
para os pontos encontrados.
Para
:
Para
:
Resposta
O valor máximo
é 11 e o valor mínimo
é -13.
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Usando o método dos multiplicadores de Lagrange encontre a área do maior retângulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse
.
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na região
Dica: a análise desta função na fronteira da região é a parte mais fácil
Classifique os pontos critícos da função
.
Consideremos uma chapa com a forma
suponhamos que a temperatura em
seja dada por
. Determine o ponto mais quente e o mais frio de D.