Classifique os pontos críticos das funçōes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente classificar os pontos críticos da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre encontrar e classificar pontos críticos. Pra resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualar elas a zero pra achar os pontos críticos, e depois usar o teste da segunda derivada pra classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero:
Substituindo
na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar os pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:
Passo 5
Agora, calculamos o discriminante
:
Primeiro, para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Agora, para o ponto
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de máximo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
: Ponto de sela. -
: Ponto de máximo relativo.
Exercícios relacionados
Determine
, para
definida implicitamente por:
Seja
. Se
ev
, mostre que
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.