Classifique os pontos críticos das funçōes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente classificar os pontos críticos da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre encontrar e classificar pontos críticos. Pra resolver, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , igualar elas a zero pra achar os pontos críticos, e depois usar o teste da segunda derivada pra classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero:
Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar os pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos as segundas derivadas parciais:

Passo 5

Agora, calculamos o discriminante :
Primeiro, para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Agora, para o ponto :
Como e , o ponto é um ponto de máximo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Ponto de sela.
  • : Ponto de máximo relativo.

Exercícios relacionados

Determine , para definida implicitamente por:
Seja . Se ev , mostre que
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto . Justifique.
.
Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .