Seja
. Se
ev
, mostre que
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar uma relação envolvendo derivadas parciais de uma função
, onde
e
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas parciais e regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que
, onde
e
. Para achar as derivadas parciais
e
, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Calculando
:
Usando a regra do produto:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Calculando
:
Como
, e
,
, temos:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos montar a expressão
:
Resposta
Portanto, mostramos que
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Determine:
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo .
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo
Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com
de volume. Se o material utilizado nas laterais custa o triplo do material utilizado no fundo, determine as dimensōes da caixa que minimizam o custo.
Determine
, para
definida implicitamente por:
Classifique os pontos críticos das funçōes: