Seja z=x f(x-y, x+y). Se u=x-y ev =x+y, mostre que
x partial zpartial x+x partial zpartial y=z+2 x^2 partial fpartial v

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar uma relação envolvendo derivadas parciais de uma função z = x f(u, v), onde u = x - y e v = x + y. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas parciais e regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z em termos de u e v. Sabemos que z = x f(u, v), onde u = x - y e v = x + y. Para achar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Calculando partial zpartial x:
Usando a regra do produto:
partial zpartial x = f(u, v) + x ( partial fpartial u partial upartial x + partial fpartial v partial vpartial x )
Sabemos que partial upartial x = 1 e partial vpartial x = 1, então:
partial zpartial x = f(u, v) + x ( partial fpartial u + partial fpartial v )

Passo 4

Calculando partial zpartial y:
Como z = x f(u, v), e u = x - y, v = x + y, temos:
partial zpartial y = x ( partial fpartial u partial upartial y + partial fpartial v partial vpartial y )
Sabemos que partial upartial y = -1 e partial vpartial y = 1, então:
partial zpartial y = x ( -partial fpartial u + partial fpartial v )

Passo 5

Agora, vamos montar a expressão x partial zpartial x + x partial zpartial y:
x partial zpartial x + x partial zpartial y &= x [ f(u, v) + x ( partial fpartial u + partial fpartial v ) ] + x [ x ( -partial fpartial u + partial fpartial v ) ] &= x f(u, v) + x^2 ( partial fpartial u + partial fpartial v ) + x^2 ( -partial fpartial u + partial fpartial v ) &= x f(u, v) + x^2 ( 2 partial fpartial v )

Resposta

Portanto, mostramos que
x partial zpartial x + x partial zpartial y = z + 2 x^2 partial fpartial v

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