Seja . Se ev , mostre que

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar uma relação envolvendo derivadas parciais de uma função , onde e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas parciais e regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e . Sabemos que , onde e . Para achar as derivadas parciais e , usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Calculando :
Usando a regra do produto:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Calculando :
Como , e , , temos:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, vamos montar a expressão :

Resposta

Portanto, mostramos que

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a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo .
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Classifique os pontos críticos das funçōes: