Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
e também a derivada direcional nessa direção do vetor
. Para isso, vamos usar cálculo multivariável, focando em derivadas parciais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Como
não depende de
, a derivada é zero:
Então, o vetor gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 5
Para encontrar a derivada direcional, precisamos primeiro normalizar o vetor
. A fórmula para a derivada direcional
é:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Primeiro, normalizamos
:
Então, o vetor unitário
é:
Agora, calculamos o produto escalar entre
e
:
Resposta
O vetor gradiente de
no ponto
é
e a derivada direcional nessa direção é
.