Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função no ponto e também a derivada direcional nessa direção do vetor . Para isso, vamos usar cálculo multivariável, focando em derivadas parciais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Como não depende de , a derivada é zero:
Então, o vetor gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e :

Passo 5

Para encontrar a derivada direcional, precisamos primeiro normalizar o vetor . A fórmula para a derivada direcional é:
onde é o vetor unitário na direção de .
Primeiro, normalizamos :
Então, o vetor unitário é:
Agora, calculamos o produto escalar entre e :

Resposta

O vetor gradiente de no ponto é e a derivada direcional nessa direção é .

Exercícios relacionados

Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto . Justifique.
.
Classifique os pontos críticos das funçōes:
A temperatura em uma placa de metal é dada por , , em centímetros e a temperatura em . Qual a direção de major crescimento da temperatura a partir do ponto ? Determine a taxa de crescimento.
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto :