Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto . Justifique.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é diferenciável no ponto . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar a continuidade da função no ponto e calcular as derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função:
Queremos ver se é contínua em . Para isso, precisamos verificar o limite de quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando vai para :
Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Lembrando que e , onde . Substituindo:
Quando tende a 0, também tende a 0, independente de . Portanto:
Então, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . A derivada parcial em relação a é:
Similarmente, a derivada parcial em relação a é:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável em . Para isso, analisamos o comportamento de:
Substituindo os valores que já sabemos:
Usando novamente coordenadas polares:
Quando tende a 0, também tende a 0. Portanto, o limite é 0.

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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