Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar a continuidade da função no ponto e calcular as derivadas parciais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função:
Queremos ver se
é contínua em
. Para isso, precisamos verificar o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
vai para
:
Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Lembrando que
e
, onde
. Substituindo:
Quando
tende a 0,
também tende a 0, independente de
. Portanto:
Então,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
. A derivada parcial em relação a
é:
Similarmente, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, precisamos verificar se a função é realmente diferenciável em
. Para isso, analisamos o comportamento de:
Substituindo os valores que já sabemos:
Usando novamente coordenadas polares:
Quando
tende a 0,
também tende a 0. Portanto, o limite é 0.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Classifique os pontos críticos das funçōes:
Determine
, para
definida implicitamente por:
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
A temperatura em uma placa de metal é dada por
,
,
em centímetros e a temperatura
em
. Qual a direção de major crescimento da temperatura a partir do ponto
? Determine a taxa de crescimento.