Classifique os pontos críticos das funçōes:
f(x, y) = -x^4/4 + 2x^3/3 + 4xy - y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A questão pede para classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como classificá-los usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Resolvendo a equação (2) para :

Passo 7

Substituindo na equação (1):

Passo 8

Resolvendo :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, ou .

Passo 9

Agora, encontramos os pares :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 10

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas , e e o discriminante .

Passo 11

Calculando as segundas derivadas:

Passo 12

Agora, calculamos o discriminante para cada ponto:
  1. Ponto (0, 0):
Como , é um ponto de sela.
  1. Ponto (4, 8):
Como e , é um ponto de máximo relativo.
  1. Ponto (-2, -4):
Como e , é um ponto de máximo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • é um ponto de sela.
  • é um ponto de máximo relativo.
  • é um ponto de máximo relativo.

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