Classifique os pontos críticos das funçōes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A questão pede para classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como classificá-los usando derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Resolvendo a equação (2) para
:
Passo 7
Substituindo
na equação (1):
Passo 8
Resolvendo
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então,
ou
.
Passo 9
Agora, encontramos os pares
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 10
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas
,
e
e o discriminante
.
Passo 11
Calculando as segundas derivadas:
Passo 12
Agora, calculamos o discriminante
para cada ponto:
- Ponto (0, 0):
Como
, é um ponto de sela.
- Ponto (4, 8):
Como
e
, é um ponto de máximo relativo.
- Ponto (-2, -4):
Como
e
, é um ponto de máximo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
é um ponto de sela. -
é um ponto de máximo relativo. -
é um ponto de máximo relativo.