Determine as derivadas parciais da função:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. A função que precisamos trabalhar é
. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
em relação a
. Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, temos:
Passo 3
Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Derivando
em relação a
, obtemos:
Passo 5
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
. É um processo bem parecido:
Passo 7
Aplicando novamente a regra da cadeia:
Passo 8
Derivando
em relação a
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
Exercícios relacionados
Classifique os pontos críticos das funçōes:
Determine as derivadas parciais indicadas:
, para
, com
e
Seja
uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de
. Suponha que existe
tal que
para todo
. Mostre que
Seja
uma função de classe
e assuma que a função derivada parcial
é de classe
. Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que