Determine as derivadas parciais da função:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. A função que precisamos trabalhar é . Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função em relação a . Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , temos:

Passo 3

Lembre-se que a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Derivando em relação a , obtemos:

Passo 5

Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a . É um processo bem parecido:

Passo 7

Aplicando novamente a regra da cadeia:

Passo 8

Derivando em relação a , temos:

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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Determine as derivadas parciais indicadas:
, para , com e
Seja uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de . Suponha que existe tal que para todo . Mostre que
Seja uma função de classe e assuma que a função derivada parcial é de classe . Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que