Determine as derivadas parciais indicadas:
partial zpartial u e partial zpartial v, para z=arcsen(x-y), com x=u^2+v^2 e y=1-2 u v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , onde , com e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v e . A função é composta pelas funções e . Então, para encontrar e , vamos usar a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente.
Primeiro, derivadas de z = arcsin(x - y) Rightarrow partial zpartial x = 1raiz1 - (x - y)^2 cdot 1 = 1raiz1 - (x - y)^2 em relação a partial zpartial y = 1raiz1 - (x - y)^2 cdot (-1) = -1raiz1 - (x - y)^2 e x = u^2 + v^2 Rightarrow partial xpartial u = 2u e partial xpartial v = 2v :
y = 1 - 2uv Rightarrow partial ypartial u = -2v e partial ypartial v = -2u
Agora, as derivadas de e em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = 1raiz1 - (x - y)^2 cdot 2u + (-1raiz1 - (x - y)^2) cdot (-2v) = 2u + 2vraiz1 - (x - y)^2 e partial zpartial v = 1raiz1 - (x - y)^2 cdot 2v + (-1raiz1 - (x - y)^2) cdot (-2u) = 2v + 2uraiz1 - (x - y)^2 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2u + 2vraiz1 - (x - y)^2
partial zpartial v = 2v + 2uraiz1 - (x - y)^2

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