Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto :

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Pra isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Sabemos que:
Então, o ponto completo no espaço é .

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas parciais de .
  • Derivada parcial de em relação a ( ):
  • Derivada parcial de em relação a ( ):

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula da equação do plano tangente:
Onde .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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A temperatura em uma placa de metal é dada por , , em centímetros e a temperatura em . Qual a direção de major crescimento da temperatura a partir do ponto ? Determine a taxa de crescimento.
Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
Determine as derivadas parciais indicadas:
, para , com e
Classifique os pontos críticos das funçōes: