Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto
:
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Pra isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Sabemos que:
Então, o ponto completo no espaço é
.
Passo 3
Agora, vamos achar as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial de
em relação a ( ):
- Derivada parcial de
em relação a ( ):
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula da equação do plano tangente:
Onde
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é
.
Exercícios relacionados
A temperatura em uma placa de metal é dada por
,
,
em centímetros e a temperatura
em
. Qual a direção de major crescimento da temperatura a partir do ponto
? Determine a taxa de crescimento.
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
Determine as derivadas parciais indicadas:
, para
, com
e
Classifique os pontos críticos das funçōes: