Seja f: R^2 R uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de R^2. Suponha que existe (x0, y0) tal que f(x, y) <= f(x0, y0) para todo (x, y) in R^2. Mostre que partial fpartial x(x0, y0)=0= partial fpartial y(x0, y0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que tem derivadas parciais em todos os pontos. Existe um ponto específico onde para qualquer no plano. Ou seja, é como um ponto máximo da função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente as derivadas parciais, para mostrar que no ponto , as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a no ponto , escrita como , mede como muda quando a gente varia mantendo constante. O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, como é um ponto onde atinge um valor máximo, qualquer pequena variação em ou não vai aumentar o valor de . Isso significa que, se a gente der uma pequena “empurradinha” em ou em , a função não vai subir, ou seja, a derivada parcial deve indicar que não há tendência de aumento.

Passo 4

Se a derivada parcial fosse positiva, isso indicaria que aumentando um pouquinho aumentaria , o que contraria a ideia de máximo. Da mesma forma, se fosse negativa, diminuir aumentaria , também conflitante. Portanto, a única possibilidade consistente é que .

Passo 5

O mesmo raciocínio se aplica para a derivada parcial em relação a . Se fosse positiva ou negativa, indicaria uma direção de aumento da função, o que não acontece no ponto máximo. Assim, também deve ser igual a zero.

Resposta

e

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