Seja
uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de
. Suponha que existe
tal que
para todo
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que tem derivadas parciais em todos os pontos. Existe um ponto específico
onde
para qualquer
no plano. Ou seja,
é como um ponto máximo da função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente as derivadas parciais, para mostrar que no ponto
, as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
, escrita como
, mede como
muda quando a gente varia
mantendo
constante. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, como
é um ponto onde
atinge um valor máximo, qualquer pequena variação em
ou
não vai aumentar o valor de
. Isso significa que, se a gente der uma pequena “empurradinha” em
ou em
, a função não vai subir, ou seja, a derivada parcial deve indicar que não há tendência de aumento.
Passo 4
Se a derivada parcial
fosse positiva, isso indicaria que aumentando
um pouquinho aumentaria
, o que contraria a ideia de máximo. Da mesma forma, se fosse negativa, diminuir
aumentaria
, também conflitante. Portanto, a única possibilidade consistente é que
.
Passo 5
O mesmo raciocínio se aplica para a derivada parcial em relação a
. Se fosse positiva ou negativa, indicaria uma direção de aumento da função, o que não acontece no ponto máximo. Assim,
também deve ser igual a zero.