Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais de
são zero e depois analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E em relação a
:
Para achar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Resolvendo para
e
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico
, vamos classificá-lo para saber se é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar o determinante Hessiano.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto crítico
:
O determinante Hessiano
é dado por:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto crítico
é um máximo local da função
.
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e paralelo ao plano
.
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é dada por
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.