Classifique os pontos críticos das funções abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais de são zero e depois analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Calculando a derivada parcial de em relação a :
E em relação a :
Para achar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Resolvendo para e :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico , vamos classificá-lo para saber se é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para isso, vamos usar o determinante Hessiano.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto crítico :
O determinante Hessiano é dado por:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto crítico é um máximo local da função .

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