Determine a equação de um plano que seja tangente a superfície x^2 + 3y^2 + 2z^2 = 7/6 e paralelo ao plano x + y + z = 10.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação de um plano que seja tangente à superfície e que seja paralelo ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos e tangentes a superfícies quadricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano é . Portanto, o plano que estamos procurando também terá um vetor normal de , o que nos dá a forma geral da equação desse plano como:
Aqui, é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos garantir que esse plano seja tangente à superfície . Uma superfície como essa é uma elipsoide centrada na origem. Para que o plano seja tangente a essa elipsoide, a distância entre o plano e o centro da elipsoide (que é a origem) deve ser igual ao “raio” da elipsoide na direção do vetor normal do plano.

Passo 4

Para calcular a distância de um plano à origem, usamos a fórmula:
â
No nosso caso, , , e , então a distância fica:
â

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o “raio” da elipsoide na direção do vetor normal . A condição para que o plano seja tangente à elipsoide é que:
Onde , , e são os coeficientes da elipsoide normalizados. Reescrevendo a equação da elipsoide:
Então, , , e . Substituindo na condição:
Portanto:

Resposta

A equação do plano é:

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