Determine a equação de um plano que seja tangente a superfície
e paralelo ao plano
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação de um plano que seja tangente à superfície
e que seja paralelo ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos e tangentes a superfícies quadricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano
é
. Portanto, o plano que estamos procurando também terá um vetor normal de
, o que nos dá a forma geral da equação desse plano como:
Aqui,
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos garantir que esse plano seja tangente à superfície
. Uma superfície como essa é uma elipsoide centrada na origem. Para que o plano seja tangente a essa elipsoide, a distância entre o plano e o centro da elipsoide (que é a origem) deve ser igual ao “raio” da elipsoide na direção do vetor normal do plano.
Passo 4
Para calcular a distância de um plano à origem, usamos a fórmula:
No nosso caso,
,
, e
, então a distância fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o “raio” da elipsoide na direção do vetor normal
. A condição para que o plano seja tangente à elipsoide é que:
Onde
,
, e
são os coeficientes da elipsoide normalizados. Reescrevendo a equação da elipsoide:
Então,
,
, e
. Substituindo na condição:
Portanto:
Resposta
A equação do plano é:
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Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
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e
mais próximo da origem.
Classifique os pontos críticos das funções abaixo
A distribuição de temperatura na chapa retangular
definida por
é dada por
. Ache as temperaturas máxima e mínima da chapa, bem como os pontos onde elas ocorrem.