Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo

Passo 1

Então, a gente tem uma superfície definida pela equação e um ponto específico . Nosso objetivo aqui é encontrar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto P e também as equações da reta normal a essa superfície nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e o conceito de plano tangente e reta normal em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. O plano tangente em um ponto de uma superfície é o plano que “encosta” na superfície naquele ponto e tem a mesma inclinação que a superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície.

Passo 3

A superfície é dada por . Vamos reescrever essa equação de forma que fique como :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 5

No ponto , os valores das derivadas parciais são:

Passo 6

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Passo 8

Agora, para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é composto pelas derivadas parciais :

Passo 9

A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente no ponto é:
As equações paramétricas da reta normal são:

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