Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Passo 1
Então, a gente tem uma superfície definida pela equação
e um ponto específico
. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto P e também as equações da reta normal a essa superfície nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e o conceito de plano tangente e reta normal em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. O plano tangente em um ponto de uma superfície é o plano que “encosta” na superfície naquele ponto e tem a mesma inclinação que a superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 3
A superfície é dada por
. Vamos reescrever essa equação de forma que fique como
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 5
No ponto
, os valores das derivadas parciais são:
Passo 6
A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Passo 8
Agora, para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é composto pelas derivadas parciais
:
Passo 9
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente no ponto
é:
As equações paramétricas da reta normal são:
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Determine o ponto da reta interseção dos planos
e
mais próximo da origem.
Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto da função
com a restrição
.
Determine a equação de um plano que seja tangente a superfície
e paralelo ao plano
.
Classifique os pontos críticos das funções abaixo