Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Passo 1
Vamos iniciar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos classificar os pontos críticos da função dada:
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste das segundas derivadas para determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo cada equação:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste das segundas derivadas. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante
é calculado por:
Passo 5
Vamos calcular
e classificar cada ponto:
-
Ponto (1, 3):Como
e , o ponto é um mínimo local. -
Ponto (1, -3):Como
, o ponto é um ponto de sela. -
Ponto (-1, 3):Como
, o ponto é um ponto de sela. -
Ponto (-1, -3):Como
e , o ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— Mínimo local -
— Ponto de sela -
— Ponto de sela -
— Máximo local
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.
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em
.