Classifique os pontos críticos das funções abaixo

Passo 1

Vamos iniciar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos classificar os pontos críticos da função dada:
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste das segundas derivadas para determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo cada equação:
Para :
Para :
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste das segundas derivadas. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas:
O discriminante é calculado por:

Passo 5

Vamos calcular e classificar cada ponto:
  1. Ponto (1, 3):
    Como e , o ponto é um mínimo local.
  2. Ponto (1, -3):
    Como , o ponto é um ponto de sela.
  3. Ponto (-1, 3):
    Como , o ponto é um ponto de sela.
  4. Ponto (-1, -3):
    Como e , o ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • Mínimo local
  • Ponto de sela
  • Ponto de sela
  • Máximo local

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