Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao gráfico da superfície dada no ponto
. A matéria que está rolando aqui envolve cálculo multivariável, especificamente o estudo de superfícies e suas propriedades como planos tangentes e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos trabalhando. A equação dada é:
Essa é a equação de um cilindro elíptico, onde
e
são constantes que determinam as dimensões da elipse na direção dos eixos
e
, respectivamente. Note que o valor de
não aparece na equação, o que significa que o cilindro se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto
, precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície. A função implícita que descreve a superfície é:
O gradiente de
, denotado por
, nos dá uma vetor normal à superfície em qualquer ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
No ponto
, o gradiente fica:
Esse vetor é normal ao plano tangente na superfície naquele ponto. Agora, a equação do plano tangente pode ser escrita usando a forma:
Fazendo a multiplicação escalar, temos:
Simplificando:
Pois sabemos que
pela equação da superfície.
Passo 5
Agora, para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor normal que encontramos anteriormente. A reta normal passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor normal
.
As equações paramétricas da reta normal são:
Simplificando, já que o componente
não muda:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
As equações paramétricas da reta normal são:
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Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Determine a equação da reta normal à parábola
que passa pelo ponto
.
Classifique os pontos críticos das funções abaixo