Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao gráfico da superfície dada no ponto . A matéria que está rolando aqui envolve cálculo multivariável, especificamente o estudo de superfícies e suas propriedades como planos tangentes e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos trabalhando. A equação dada é:
Essa é a equação de um cilindro elíptico, onde e são constantes que determinam as dimensões da elipse na direção dos eixos e , respectivamente. Note que o valor de não aparece na equação, o que significa que o cilindro se estende indefinidamente ao longo do eixo .

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto , precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície. A função implícita que descreve a superfície é:
O gradiente de , denotado por , nos dá uma vetor normal à superfície em qualquer ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Então, o gradiente é:

Passo 4

No ponto , o gradiente fica:
Esse vetor é normal ao plano tangente na superfície naquele ponto. Agora, a equação do plano tangente pode ser escrita usando a forma:
Fazendo a multiplicação escalar, temos:
Simplificando:
Pois sabemos que pela equação da superfície.

Passo 5

Agora, para encontrar as equações da reta normal, usamos o vetor normal que encontramos anteriormente. A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor normal .
As equações paramétricas da reta normal são:
Simplificando, já que o componente não muda:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:
As equações paramétricas da reta normal são:

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Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Determine a equação da reta normal à parábola que passa pelo ponto .
Classifique os pontos críticos das funções abaixo