Classifique os pontos críticos das funções abaixo

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Esses conceitos nos ajudam a encontrar e determinar a natureza dos pontos críticos de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:
Análogamente, a derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema em que as derivadas parciais são iguais a zero:
Isso significa que:
e
Como o denominador nunca é zero (já que para todo ), podemos igualar o numerador a zero:

Passo 4

Vamos simplificar as equações:
Para :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Para :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Somando as equações (1) e (2):
Simplificando:
Podemos rearranjar:
Agora, podemos expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, isolando na equação (3):
Agora, substituímos na equação (2):
Esse é um pouco trabalhoso, mas após simplificar, encontramos os valores de e que satisfazem o sistema.
Após resolver, encontramos os seguintes pontos críticos:

Passo 6

Agora que encontramos os pontos críticos e , vamos classificar cada um deles usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Depois, calculamos o discriminante :
Dependendo do valor de e de , determinamos a natureza do ponto crítico:
  • Se e : Mínimo Local
  • Se e : Máximo Local
  • Se : Ponto de sela
  • Se : Teste inconclusivo
Após calcular, descobrimos que ambos os pontos e são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e , ambos classificados como pontos de sela.

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