Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Esses conceitos nos ajudam a encontrar e determinar a natureza dos pontos críticos de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Simplificando:
Análogamente, a derivada parcial de
em relação a
é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema em que as derivadas parciais são iguais a zero:
Isso significa que:
e
Como o denominador nunca é zero (já que
para todo
), podemos igualar o numerador a zero:
Passo 4
Vamos simplificar as equações:
Para
:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Para
:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Somando as equações (1) e (2):
Simplificando:
Podemos rearranjar:
Agora, podemos expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, isolando
na equação (3):
Agora, substituímos
na equação (2):
Esse é um pouco trabalhoso, mas após simplificar, encontramos os valores de
e
que satisfazem o sistema.
Após resolver, encontramos os seguintes pontos críticos:
Passo 6
Agora que encontramos os pontos críticos
e
, vamos classificar cada um deles usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Depois, calculamos o discriminante
:
Dependendo do valor de
e de
, determinamos a natureza do ponto crítico:
- Se
e : Mínimo Local - Se
e : Máximo Local - Se
: Ponto de sela - Se
: Teste inconclusivo
Após calcular, descobrimos que ambos os pontos
e
são pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
, ambos classificados como pontos de sela.
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Determine a equação da reta normal à parábola
que passa pelo ponto
.
Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto de
em
.