Determine a equação da reta normal à parábola y^2 = -8 x que passa pelo ponto (-5, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta normal à parábola que passa pelo ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com parábolas e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada da função para determinar as inclinações das tangentes e, consequentemente, das normais.

Passo 2

Primeiro, vamos precisar encontrar a derivada da parábola para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. A derivada nos dá a taxa de variação, ou seja, a inclinação da tangente.
Dada a equação da parábola:
Vamos derivar ambos os lados em relação a :
Isolando :
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é .

Passo 3

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos reciprocais. Então, se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal será:

Passo 4

Agora, queremos que essa reta normal passe pelo ponto . Para isso, precisamos determinar o ponto na parábola onde a reta normal passa por .
Sabemos que o ponto está na parábola, então:

Passo 5

A equação da reta normal que passa por e pode ser escrita usando a fórmula da inclinação:
Substituindo por :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, ou .

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Para :
    Substituindo na equação da parábola:
    Então, o ponto é . Mas a reta normal nesse ponto teria inclinação , ou seja, reta horizontal. Porém, a reta horizontal que passa por não passa por , já que ambas são a mesma reta. Porém, já que o ponto está na reta, essa é uma possível solução.
  2. Para :
    Substituindo na equação da parábola:
    Então, o ponto é .
  3. Para :
    De forma similar, obtemos o ponto .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal para cada ponto encontrado:
  1. Para :
    A reta é .
  2. Para :
    A inclinação é .
    Usando a fórmula da reta:
    Simplificando:
  3. Para :
    A inclinação é .
    Usando a fórmula da reta:
    Simplificando:

Resposta

As equações das retas normais à parábola que passam pelo ponto são:

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