Determine a equação da reta normal à parábola
que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta normal à parábola
que passa pelo ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com parábolas e retas normais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada da função para determinar as inclinações das tangentes e, consequentemente, das normais.
Passo 2
Primeiro, vamos precisar encontrar a derivada da parábola para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. A derivada nos dá a taxa de variação, ou seja, a inclinação da tangente.
Dada a equação da parábola:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
é
.
Passo 3
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos reciprocais. Então, se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal será:
Passo 4
Agora, queremos que essa reta normal passe pelo ponto
. Para isso, precisamos determinar o ponto
na parábola onde a reta normal passa por
.
Sabemos que o ponto
está na parábola, então:
Passo 5
A equação da reta normal que passa por
e
pode ser escrita usando a fórmula da inclinação:
Substituindo
por
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
ou
.
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
-
Para
:
Substituindo na equação da parábola:Então, o ponto é. Mas a reta normal nesse ponto teria inclinação , ou seja, reta horizontal. Porém, a reta horizontal que passa por não passa por , já que ambas são a mesma reta. Porém, já que o ponto está na reta, essa é uma possível solução. -
Para
:
Substituindo na equação da parábola:Então, o ponto é. -
Para
:
De forma similar, obtemos o ponto.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal para cada ponto encontrado:
-
Para
:
A reta é. -
Para
:
A inclinação é.
Usando a fórmula da reta:Simplificando: -
Para
:
A inclinação é.
Usando a fórmula da reta:Simplificando:
Resposta
As equações das retas normais à parábola
que passam pelo ponto
são: