Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto de
em
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos de máximo e mínimo absoluto da função
dentro da região
, que é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
. Isso está dentro do assunto de otimização de funções de duas variáveis com restrições, e vamos precisar do cálculo de derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
é:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região
. Vamos calcular
para
:
Como
, o ponto está dentro de
.
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar a função
nesse ponto:
Então,
.
Passo 5
Agora, precisamos analisar os valores de
na fronteira da região
, ou seja, onde
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a fronteira. Vamos usar parametrização.
Podemos parametrizar a fronteira usando:
onde
varia de
a
.
Passo 6
Substituindo na função
:
Sabemos que
, então:
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão.
Passo 7
A função
varia entre
e
. Então:
Portanto, o valor mínimo na fronteira é
quando
e o valor máximo é
quando
.
Passo 8
Vamos identificar os pontos correspondentes:
- Para
, , então . - Para
, , então .
Passo 9
Agora, comparamos todos os valores encontrados:
- Ponto crítico dentro de
: - Minimo na fronteira:
- Máximo na fronteira:
Resposta
O ponto de mínimo absoluto é
com
e o ponto de máximo absoluto é
com
.
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