Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto de em .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos de máximo e mínimo absoluto da função dentro da região , que é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem . Isso está dentro do assunto de otimização de funções de duas variáveis com restrições, e vamos precisar do cálculo de derivadas parciais e análise de extremos em regiões fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a é:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região . Vamos calcular para :
Como , o ponto está dentro de .

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar a função nesse ponto:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos analisar os valores de na fronteira da região , ou seja, onde . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou parametrizar a fronteira. Vamos usar parametrização.
Podemos parametrizar a fronteira usando:
onde varia de a .

Passo 6

Substituindo na função :
Sabemos que , então:
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos dessa expressão.

Passo 7

A função varia entre e . Então:
Portanto, o valor mínimo na fronteira é quando e o valor máximo é quando .

Passo 8

Vamos identificar os pontos correspondentes:
  • Para , , então .
  • Para , , então .

Passo 9

Agora, comparamos todos os valores encontrados:
  • Ponto crítico dentro de :
  • Minimo na fronteira:
  • Máximo na fronteira:

Resposta

O ponto de mínimo absoluto é com e o ponto de máximo absoluto é com .

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