Classifique os pontos críticos das funções abaixo
e) f(x, y) = e^(1 + x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar os pontos críticos da função . Isso significa que vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como nunca é zero (a exponencial de qualquer número é sempre positiva), as equações se reduzem a:
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função.
A segunda derivada parcial em relação a é:
A segunda derivada parcial em relação a é:
E a derivada mista é:
No ponto crítico , essas derivadas ficam:

Passo 5

Com as segundas derivadas, calculamos o discriminante que ajuda a classificar o ponto cr��tico:
Substituindo os valores:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo relativo da função.

Resposta

O único ponto crítico é e ele é classificado como um mínimo relativo da função .

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