Classifique os pontos críticos das funções abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar os pontos críticos da função
. Isso significa que vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e então usar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como
nunca é zero (a exponencial de qualquer número é sempre positiva), as equações se reduzem a:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, precisamos calcular as segundas derivadas parciais da função.
A segunda derivada parcial em relação a
é:
A segunda derivada parcial em relação a
é:
E a derivada mista é:
No ponto crítico
, essas derivadas ficam:
Passo 5
Com as segundas derivadas, calculamos o discriminante
que ajuda a classificar o ponto cr��tico:
Substituindo os valores:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um mínimo relativo da função.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é classificado como um mínimo relativo da função
.