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Encontre a derivada de f(x, y) = x * e^y + cos(x * y) no ponto 2,0 e na direção do vetor v = (3, -4)

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos permite saber a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja, vamos achar .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, .

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na direção desejada. O vetor unitário é dado por:

Passo 7

A derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é igual a .

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