Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto da função
com a restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e queremos encontrar os pontos onde essa função atinge seu máximo e mínimo absoluto, mas com a condição de que
. Isso significa que estamos trabalhando com otimização com restrição, especificamente usando o método dos Multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar aplicar esse método para encontrar os pontos desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos Multiplicadores de Lagrange. Ele nos ajuda a encontrar os extremos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é resolver o sistema de equações:
onde
representa o gradiente e
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar as funções:
Agora, calculamos os gradientes:
Passo 4
Aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1) e (2) para
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação de restrição (3):
Passo 7
Com os valores de
, encontramos
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, calculamos o valor da função
em cada ponto:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo absoluto da função
sob a restrição
são:
- Máximo absoluto em
com valor . - Mínimo absoluto em
com valor .
Exercícios relacionados
Classifique os pontos críticos das funções abaixo
O domínio de
é? E o domínio de
é?
Determine o ponto da reta interseção dos planos
e
mais próximo da origem.
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