Encontre os pontos de máximo e mínimo absoluto da função com a restrição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e queremos encontrar os pontos onde essa função atinge seu máximo e mínimo absoluto, mas com a condição de que . Isso significa que estamos trabalhando com otimização com restrição, especificamente usando o método dos Multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar aplicar esse método para encontrar os pontos desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos Multiplicadores de Lagrange. Ele nos ajuda a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição . A ideia é resolver o sistema de equações:
onde representa o gradiente e é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar as funções:
Agora, calculamos os gradientes:

Passo 4

Aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para :
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando as duas expressões para :

Passo 6

Agora, substituímos na equação de restrição (3):

Passo 7

Com os valores de , encontramos :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, calculamos o valor da função em cada ponto:
Para :
Para :

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo absoluto da função sob a restrição são:
  • Máximo absoluto em com valor .
  • Mínimo absoluto em com valor .

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