Determine o ponto da reta interseção dos planos e mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto na reta de interseção dos planos e que está mais próximo da origem. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso, como equações de planos, reta de interseção e distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta de interseção dos dois planos. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado pelos dois planos:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar :
Agora, vamos expressar em termos de a partir da equação (3):
Substituindo na equação (1):
Agora, temos e . Podemos parametrizar a reta de interseção usando :
Então, a equação paramétrica da reta de interseção é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto nessa reta que está mais próximo da origem. A distância de um ponto à origem é dada pela norma do vetor posição:
Para minimizar essa distância, vamos minimizar o quadrado da distância (fica mais fácil de derivar):
Expandindo os termos:
Para encontrar o valor de que minimiza , derivamos e igualamos a zero:

Passo 4

Agora, substituímos na equação paramétrica da reta para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo:

Resposta

O ponto da reta de interseção dos planos que está mais próximo da origem é .

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