Determine a distância mínima entre a superfície 4 x^2 + y^2 - z = 0 e o ponto (0, 0, 8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a distância mínima entre a superfície e o ponto . Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente calculando distâncias entre pontos e superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância entre um ponto e uma superfície e um pouco de cálculo para minimizar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que temos: . Podemos reescrever isso como . Essa é a equação de um paraboloide elíptico, que é uma superfície curva que se abre para cima.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a distância entre o ponto e qualquer ponto na superfície. A distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
Mas como , podemos substituir isso na fórmula:

Passo 4

Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância :
Vamos chamar essa expressão de e encontrar os valores de e que minimizam .

Passo 5

Para minimizar , precisamos calcular as derivadas parciais em relação a e e igualá-las a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Vamos simplificar as equações:
Para :
Para :
Uma solução óbvia é e . Vamos verificar se essa é a solução mínima.

Passo 7

Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto na superfície mais próximo é . A distância entre e é:

Resposta

A distância mínima entre a superfície e o ponto �� 8 unidades.

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