Determine a distância mínima entre a superfície
e o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a distância mínima entre a superfície
e o ponto
. Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente calculando distâncias entre pontos e superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância entre um ponto e uma superfície e um pouco de cálculo para minimizar essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que temos:
. Podemos reescrever isso como
. Essa é a equação de um paraboloide elíptico, que é uma superfície curva que se abre para cima.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distância entre o ponto
e qualquer ponto
na superfície. A distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
Mas como
, podemos substituir isso na fórmula:
Passo 4
Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância
:
Vamos chamar essa expressão de
e encontrar os valores de
e
que minimizam
.
Passo 5
Para minimizar
, precisamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
e igualá-las a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Vamos simplificar as equações:
Para
:
Para
:
Uma solução óbvia é
e
. Vamos verificar se essa é a solução mínima.
Passo 7
Substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto na superfície mais próximo é
. A distância entre
e
é:
Resposta
A distância mínima entre a superfície
e o ponto
�� 8 unidades.