Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
8.
8.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série geométrica:
Precisamos usar o Teorema (11.15) para determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também devemos encontrar a soma da série.
Passo 2
Vamos identificar dois elementos importantes da série: o primeiro termo e a razão comum.
- Primeiro termo (
): é o primeiro número da série, que aqui é 3. - Razão comum (
): é o número que multiplica cada termo para chegar no próximo. Para encontrar , dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então,
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema das Séries Geométricas, que nos diz:
- A série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja:
- Se a série converge, a soma (
) dela é dada por:
Passo 4
Vamos verificar se a série converge verificando se
:
Como
é menor que 1, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula:
Resposta
A série geométrica converge e sua soma é
.