Use o Teorema (11.15) para determinar se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
8. 3 + 3/(-4) + ... + 3/(-4)^(n-1) + ...

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série geométrica:
Precisamos usar o Teorema (11.15) para determinar se essa série converge ou diverge. Se convergir, também devemos encontrar a soma da série.

Passo 2

Vamos identificar dois elementos importantes da série: o primeiro termo e a razão comum.
  • Primeiro termo ( ): é o primeiro número da série, que aqui é 3.
  • Razão comum ( ): é o número que multiplica cada termo para chegar no próximo. Para encontrar , dividimos o segundo termo pelo primeiro:
Então, .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema das Séries Geométricas, que nos diz:
  • A série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja:
  • Se a série converge, a soma ( ) dela é dada por:

Passo 4

Vamos verificar se a série converge verificando se :
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma usando a fórmula:

Resposta

A série geométrica converge e sua soma é .

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