Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
r é a reta que passa pelos pontos O=(0,0,0) e A=(1,-2,4) e pi é o plano determinado pelo triângulo B C D em que B=(1,0,0), C=(0,1,0) e D=(0,0,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir como uma reta e um plano se relacionam no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a reta e o plano de forma matemática, verificar se eles se interceptam ou se são paralelos, e, se acontecerem de se cruzarem, encontrar o ponto em comum onde isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a reta r(t) = O + t cdot OA . A reta passa pelos pontos r(t) = (0,0,0) + t cdot (1,-2,4) = (t, -2t, 4t) e . A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos definir o plano BC = C - B = (-1,1,0) . Ele é determinado pelo triângulo formado pelos pontos BD = D - B = (-1,0,1) , n = BC times BD = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = (1)(1) - (0)(0))i - [(-1)(1) - (0)(-1))j + [(-1)(0) - (1)(-1))k = (1)i - (-1)j + (1)k = (1,1,1) e 1(x - x0) + 1(y - y0) + 1(z - z0) = 0 . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Podemos calcular dois vetores no plano:
1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 Rightarrow x + y + z = 1
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Então, a equação geral do plano é:
Usando o ponto :

Passo 4

Agora que temos a equação da reta e do plano, vamos verificar se eles se intersectam. Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
x + y + z = 1
Onde:
x = t, y = -2t, z = 4t
Substituindo:
t + (-2t) + 4t = 1 Rightarrow 3t = 1 Rightarrow t = 13
Então, o ponto de interseção é:
r(13) = (13, -23, 43)

Resposta

A reta e o plano são concorrentes e se intersectam no ponto .

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