Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum. é a reta que passa pelos pontos e e é o plano determinado pelo triângulo em que e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir como uma reta e um plano se relacionam no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a reta e o plano de forma matemática, verificar se eles se interceptam ou se são paralelos, e, se acontecerem de se cruzarem, encontrar o ponto em comum onde isso acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a reta . A reta passa pelos pontos e . A equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde . Portanto:
Passo 3
Agora, vamos definir o plano . Ele é determinado pelo triângulo formado pelos pontos , e . Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Podemos calcular dois vetores no plano:
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Então, a equação geral do plano é:
Usando o ponto :
Passo 4
Agora que temos a equação da reta e do plano, vamos verificar se eles se intersectam. Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
x + y + z = 1
Onde:
x = t, y = -2t, z = 4t
Substituindo:
t + (-2t) + 4t = 1 Rightarrow 3t = 1 Rightarrow t = 13
Então, o ponto de interseção é:
r(13) = (13, -23, 43)
Resposta
A reta e o plano são concorrentes e se intersectam no ponto .