Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera
que são paralelos ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dos planos tangentes a uma esfera que são paralelos a um plano específico. O conteúdo aqui envolve Geometria Analítica, especificamente assuntos sobre esferas e planos. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a equação de uma esfera, como determinar planos tangentes e a condição de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da esfera que foi dada:
A equação padrão de uma esfera é:
onde é o centro da esfera e é o raio.
Vamos reescrever a equação dada para colocá-la na forma padrão. Para isso, precisamos completar o quadrado para cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Vamos reordenar os termos:
Agora, completamos o quadrado para cada variável.
Para :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, a forma padrão da esfera é:
Isso nos mostra que o centro da esfera é e o raio é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar os planos tangentes a essa esfera que são paralelos ao plano dado:
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano é .
Então, os planos tangentes que procuramos também terão esse mesmo vetor normal. A equação geral de um plano paralelo será:
onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 5

Para que o plano seja tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera e o plano deve ser igual ao raio da esfera.
A fórmula para a distância entre um ponto e um plano é:
Nesse caso, o ponto é o centro da esfera e o plano é . Queremos que essa distância seja igual a (o raio).
Vamos aplicar a fórmula:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isso nos dá duas possibilidades:

Resposta

Os planos tangentes à esfera que são paralelos ao plano são:
e

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