Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera
que são paralelos ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dos planos tangentes a uma esfera que são paralelos a um plano específico. O conteúdo aqui envolve Geometria Analítica, especificamente assuntos sobre esferas e planos. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a equação de uma esfera, como determinar planos tangentes e a condição de paralelismo entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da esfera que foi dada:
A equação padrão de uma esfera é:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Vamos reescrever a equação dada para colocá-la na forma padrão. Para isso, precisamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Vamos reordenar os termos:
Agora, completamos o quadrado para cada variável.
Para
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, a forma padrão da esfera é:
Isso nos mostra que o centro da esfera é
e o raio é
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar os planos tangentes a essa esfera que são paralelos ao plano dado:
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano
é
.
Então, os planos tangentes que procuramos também terão esse mesmo vetor normal. A equação geral de um plano paralelo será:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 5
Para que o plano
seja tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera e o plano deve ser igual ao raio da esfera.
A fórmula para a distância
entre um ponto
e um plano
é:
Nesse caso, o ponto é o centro da esfera
e o plano é
. Queremos que essa distância seja igual a
(o raio).
Vamos aplicar a fórmula:
Simplificando o numerador:
E o denominador:
Então, a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
→ -
→
Resposta
Os planos tangentes à esfera que são paralelos ao plano
são:
e
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Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
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e
e
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em que
e
;
Escreva uma equação vetorial do plano
paralelo ao plano
e que contém o ponto
. Faça um esboço do plano.
Descreva as equações cartesiana e vetorial do plano.
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
d)
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