Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera
-3-2 x+x 2+4 y+y^2+2 z+z^2=0
que são paralelos ao plano x-2 y+2 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações dos planos tangentes a uma esfera que são paralelos a um plano específico. O conteúdo aqui envolve Geometria Analítica, especificamente assuntos sobre esferas e planos. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a equação de uma esfera, como determinar planos tangentes e a condição de paralelismo entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação da esfera que foi dada:
-3 - 2x + x^2 + 4y + y^2 + 2z + z^2 = 0
A equação padrão de uma esfera é:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
onde (a, b, c) é o centro da esfera e r é o raio.
Vamos reescrever a equação dada para colocá-la na forma padrão. Para isso, precisamos completar o quadrado para cada uma das variáveis x, y e z.

Passo 3

Vamos reordenar os termos:
x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 + 2z - 3 = 0
Agora, completamos o quadrado para cada variável.
Para x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Para y:
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Para z:
z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 1)^2 - 1 - 3 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 - 9 = 0
Então, a forma padrão da esfera é:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 1)^2 = 9
Isso nos mostra que o centro da esfera é (1, -2, -1) e o raio é r = 3.

Passo 4

Agora, queremos encontrar os planos tangentes a essa esfera que são paralelos ao plano dado:
x - 2y + 2z = 3
Dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano x - 2y + 2z = 3 é n = (1, -2, 2).
Então, os planos tangentes que procuramos também terão esse mesmo vetor normal. A equação geral de um plano paralelo será:
x - 2y + 2z = D
onde D é uma constante que precisamos determinar.

Passo 5

Para que o plano x - 2y + 2z = D seja tangente à esfera, a distância entre o centro da esfera e o plano deve ser igual ao raio da esfera.
A fórmula para a distância d entre um ponto (x0, y0, z0) e um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Nesse caso, o ponto é o centro da esfera (1, -2, -1) e o plano é x - 2y + 2z - D = 0. Queremos que essa distância seja igual a 3 (o raio).
Vamos aplicar a fórmula:
|1 cdot 1 + (-2) cdot (-2) + 2 cdot (-1) - D|raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 3
Simplificando o numerador:
1 + 4 - 2 - D = 3 - D
E o denominador:
raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Então, a equação fica:
|3 - D|3 = 3
Multiplicando ambos os lados por 3:
|3 - D| = 9
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 3 - D = 9 D = -6
  2. 3 - D = -9 D = 12

Resposta

Os planos tangentes à esfera que são paralelos ao plano x - 2y + 2z = 3 são:
x - 2y + 2z = -6
e
x - 2y + 2z = 12

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