Escreva uma equação vetorial do plano alpha paralelo ao plano x z e que contém o ponto (3,1,1). Faça um esboço do plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever uma equação vetorial de um plano alpha que é paralelo ao plano xz e que passa pelo ponto (3,1,1). Vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, entender o que significa ser paralelo ao plano xz. Dois planos são paralelos se eles têm vetores normais proporcionais. O plano xz tem uma normal no eixo y, então o vetor normal é n = (0,1,0).

Passo 3

Como o plano alpha é paralelo ao plano xz, ele também vai ter um vetor normal proporcional a n = (0,1,0). Agora, vamos usar a equação vetorial do plano, que envolve um ponto no plano e dois vetores diretores.

Passo 4

A equação vetorial de um plano é dada por:
r = r0 + s,u + t,v
Onde:
  • r0 é um ponto no plano,
  • u e v são vetores diretores,
  • s e t são escalares.

Passo 5

Como o plano alpha é paralelo ao plano xz, podemos escolher os vetores diretores na direção dos eixos x e z. Então, temos:
u = (1,0,0) e v = (0,0,1)

Passo 6

O ponto que está no plano alpha é (3,1,1), então:
r0 = (3,1,1)

Passo 7

Substituindo r0, u e v na equação vetorial, temos:
r = (3,1,1) + s, (1,0,0) + t, (0,0,1)

Resposta

A equação vetorial do plano alpha é:
r = (3,1,1) + s, (1,0,0) + t, (0,0,1)

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