Encontre a reta tangente ao círculo de equação
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a reta que toca o círculo de equação
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar o centro e o raio do círculo e como achar a equação da reta tangente naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação do círculo na forma padrão. Isso facilita identificar o centro e o raio. A forma padrão é
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação dada:
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para os termos de
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Simplificando:
Então, o centro do círculo é
e o raio é
.
Passo 7
A reta tangente a um círculo no ponto
é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Vamos encontrar a inclinação desse raio.
Passo 8
Coordenadas do centro:
Coordenadas do ponto de tangência:
A inclinação do raio
é:
Passo 9
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, a inclinação da tangente
satisfaz:
Passo 10
Agora que temos a inclinação da reta tangente
e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta:
Onde
,
,
.
Passo 11
Substituindo os valores:
Passo 12
Vamos deixar a equação mais arrumada:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Resposta
A equação da reta tangente ao círculo no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Quais as possíveis posições relativas entre uma reta e um plano?
Para escrever a equação cartesiana do plano, podemos usar qualquer vetor normal?
Escreva uma equação vetorial do plano
paralelo ao plano
e que contém o ponto
. Faça um esboço do plano.
Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
é a reta que passa pelos pontos
e
e
é o plano determinado pelo triângulo
em que
e
;