Encontre a reta tangente ao círculo de equação
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a reta que toca o círculo de equação no ponto . Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar o centro e o raio do círculo e como achar a equação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação do círculo na forma padrão. Isso facilita identificar o centro e o raio. A forma padrão é , onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada:

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de e :
Para :
Para :

Passo 5

Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Simplificando:
Então, o centro do círculo é e o raio é .

Passo 7

A reta tangente a um círculo no ponto é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Vamos encontrar a inclinação desse raio.

Passo 8

Coordenadas do centro:
Coordenadas do ponto de tangência:
A inclinação do raio é:

Passo 9

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, a inclinação da tangente satisfaz:

Passo 10

Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Onde , , .

Passo 11

Substituindo os valores:

Passo 12

Vamos deixar a equação mais arrumada:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:

Resposta

A equação da reta tangente ao círculo no ponto é .

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