Encontre a reta tangente ao círculo de equação
x^2+y^2-2 y-4 x=0,
no ponto (3,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a reta que toca o círculo de equação no ponto . Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar o centro e o raio do círculo e como achar a equação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação do círculo na forma padrão. Isso facilita identificar o centro e o raio. A forma padrão é , onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada:
x^2 - 4x + y^2 - 2y = 0

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 e y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 :
Para :
Para :

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
(x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 = 0

Passo 6

Simplificando:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5
Então, o centro do círculo é e o raio é .

Passo 7

A reta tangente a um círculo no ponto é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Vamos encontrar a inclinação desse raio.

Passo 8

Coordenadas do centro: mr = 3 - 13 - 2 = 21 = 2
Coordenadas do ponto de tangência:
A inclinação do raio é:

Passo 9

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, a inclinação da tangente mt times mr = -1 satisfaz:
mt times 2 = -1
mt = -12

Passo 10

Agora que temos a inclinação da reta tangente y - y1 = m(x - x1) e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta:
Onde , , .

Passo 11

Substituindo os valores:
y - 3 = -12(x - 3)

Passo 12

Vamos deixar a equação mais arrumada:
Multiplicando ambos os lados por 2:
2(y - 3) = -(x - 3)
2y - 6 = -x + 3
Rearranjando:
x + 2y = 9

Resposta

A equação da reta tangente ao círculo no ponto é .

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