Descreva as equações cartesiana e vetorial do plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as equações cartesiana e vetorial de um plano. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar um plano no espaço usando coordenadas e vetores. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação cartesiana do plano. Essa equação é uma maneira de representar o plano usando uma equação algébrica envolvendo as coordenadas x, y e z de qualquer ponto que esteja nesse plano. A forma geral dela é:
Ax + By + Cz + D = 0
Aqui, A, B e C são os coeficientes que determinam a inclinação do plano, e D é uma constante que determina a posição do plano no espaço.

Passo 3

Para encontrar a equação cartesiana, a gente geralmente precisa de um vetor normal ao plano, que é um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor normal pode ser representado por (A, B, C). Além disso, precisamos de um ponto específico que esteja no plano, digamos .

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e o ponto A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 , a equação cartesiana do plano pode ser formada usando o produto escalar. A ideia é que qualquer vetor Ax + By + Cz + D = 0 que esteja no plano satisfaça:
Onde . Expandindo isso, chega-se à forma:
Que, ao rearranjar, dá a forma geral que mencionei antes:

Passo 5

Agora, vamos para a equação vetorial do plano. Essa forma usa um ponto inicial e dois vetores que estão no plano para descrever todos os pontos nele. Se a gente tem um ponto r = r0 + su + tv e dois vetores diretores e que estão no plano, qualquer ponto no plano pode ser descrito por:
Onde e são escalares que variam e é o vetor posição do ponto .

Passo 6

Essa equação vetorial mostra que o plano é formado por todas as combinações lineares dos vetores e a partir do ponto . É uma forma muito útil, especialmente quando queremos trabalhar com situações envolvendo direção e magnitude no espaço.

Resposta

A equação cartesiana de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde r = r0 + su + tv são os coeficientes do vetor normal ao plano, e é uma constante.
Já a equação vetorial do plano pode ser expressa como:
Onde é um ponto no plano, e e são vetores diretores que estão no plano, com e sendo escalares.

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