Descreva as equações cartesiana e vetorial do plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as equações cartesiana e vetorial de um plano. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar um plano no espaço usando coordenadas e vetores. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a equação cartesiana do plano. Essa equação é uma maneira de representar o plano usando uma equação algébrica envolvendo as coordenadas x, y e z de qualquer ponto que esteja nesse plano. A forma geral dela é:
Aqui, A, B e C são os coeficientes que determinam a inclinação do plano, e D é uma constante que determina a posição do plano no espaço.
Passo 3
Para encontrar a equação cartesiana, a gente geralmente precisa de um vetor normal ao plano, que é um vetor perpendicular ao plano. Esse vetor normal pode ser representado por (A, B, C). Além disso, precisamos de um ponto específico que esteja no plano, digamos
.
Passo 4
Com o vetor normal
e o ponto
, a equação cartesiana do plano pode ser formada usando o produto escalar. A ideia é que qualquer vetor
que esteja no plano satisfaça:
Onde
. Expandindo isso, chega-se à forma:
Que, ao rearranjar, dá a forma geral que mencionei antes:
Passo 5
Agora, vamos para a equação vetorial do plano. Essa forma usa um ponto inicial e dois vetores que estão no plano para descrever todos os pontos nele. Se a gente tem um ponto
e dois vetores diretores
e
que estão no plano, qualquer ponto
no plano pode ser descrito por:
Onde
e
são escalares que variam e
é o vetor posição do ponto
.
Passo 6
Essa equação vetorial mostra que o plano é formado por todas as combinações lineares dos vetores
e
a partir do ponto
. É uma forma muito útil, especialmente quando queremos trabalhar com situações envolvendo direção e magnitude no espaço.
Resposta
A equação cartesiana de um plano é dada por:
Onde
são os coeficientes do vetor normal ao plano, e
é uma constante.
Já a equação vetorial do plano pode ser expressa como:
Onde
é um ponto no plano, e
e
são vetores diretores que estão no plano, com
e
sendo escalares.
Exercícios relacionados
Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera
que são paralelos ao plano
.
Classifique a posição relativa entre a reta e o plano e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto em comum.
é a reta que passa pelos pontos
e
e
é o plano determinado pelo triângulo
em que
e
;
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
d)
d)
Quais as possíveis posições relativas entre retas?