Uma hipérbole tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de é a reta e que , determine a equação de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole que está centrada na origem e seus focos estão em um dos eixos coordenados. Sabemos que uma das assíntotas dessa hipérbole é a reta e que o ponto está na hipérbole. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma hipérbole. É uma das cônicas que tem duas assíntotas que se cruzam no centro da hipérbole. A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem é:
ou
As assíntotas para a primeira forma são .

Passo 3

Como sabemos que uma das assíntotas é , vamos colocá-la na forma . Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que a inclinação da assíntota é .

Passo 4

Logo, sabemos que:
Isso nos relaciona as variáveis e na equação da hipérbole.

Passo 5

Agora, como o ponto está na hipérbole, ele satisfaz a equação da hipérbole. Vamos assumir que a hipérbole está na forma horizontal:
Substituindo e :

Passo 6

Lembrando que , substituímos na equação:

Passo 7

Agora que sabemos que , podemos encontrar :

Passo 8

Com e , a equação da hipérbole é:

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Determine e de modo que:
os planos e sejam paralelos e distintos.
Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
, e passando por e .
Quais as possíveis posições relativas entre planos?
Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação: