Uma hipérbole
tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de
é a reta
e que
, determine a equação de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole que está centrada na origem e seus focos estão em um dos eixos coordenados. Sabemos que uma das assíntotas dessa hipérbole é a reta
e que o ponto
está na hipérbole. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma hipérbole. É uma das cônicas que tem duas assíntotas que se cruzam no centro da hipérbole. A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem é:
ou
As assíntotas para a primeira forma são
.
Passo 3
Como sabemos que uma das assíntotas é
, vamos colocá-la na forma
. Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que a inclinação da assíntota é
.
Passo 4
Logo, sabemos que:
Isso nos relaciona as variáveis
e
na equação da hipérbole.
Passo 5
Agora, como o ponto
está na hipérbole, ele satisfaz a equação da hipérbole. Vamos assumir que a hipérbole está na forma horizontal:
Substituindo
e
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos
na equação:
Passo 7
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
:
Passo 8
Com
e
, a equação da hipérbole é:
Resposta
A equação da hipérbole
é:
Exercícios relacionados
Determine
e
de modo que:
os planos e
sejam paralelos e distintos.
os planos
Classifique a posição relativa entre as retas e, caso sejam concorrentes, encontre o ponto de concorrência.
, e
passando por
e
.
Quais as possíveis posições relativas entre planos?
Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação: