Uma hipérbole H tem os focos num dos eixos coordenados e centro na origem. Sabendo que uma das assíntotas de H é a reta 3 x-2 y=0 e que P=(4 raiz2, 6) in H, determine a equação de H.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma hipérbole que está centrada na origem e seus focos estão em um dos eixos coordenados. Sabemos que uma das assíntotas dessa hipérbole é a reta e que o ponto está na hipérbole. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma hipérbole. É uma das cônicas que tem duas assíntotas que se cruzam no centro da hipérbole. A equação padrão de uma hipérbole com centro na origem é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1 (aberta horizontalmente)
ou
y^2b^2 - x^2a^2 = 1 (aberta verticalmente)
As assíntotas para a primeira forma são .

Passo 3

Como sabemos que uma das assíntotas é y = 32x , vamos colocá-la na forma . Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que a inclinação da assíntota é .

Passo 4

Logo, sabemos que:
ba = 32 Rightarrow b = 32a
Isso nos relaciona as variáveis e na equação da hipérbole.

Passo 5

Agora, como o ponto x^2a^2 - y^2b^2 = 1 está na hipérbole, ele satisfaz a equação da hipérbole. Vamos assumir que a hipérbole está na forma horizontal:
(4raiz2)^2a^2 - 6^2b^2 = 1
Substituindo 32a^2 - 36b^2 = 1 e :

Passo 6

Lembrando que 32a^2 - 36(32a)^2 = 1 , substituímos 32a^2 - 3694a^2 = 1 na equação:
32a^2 - 16a^2 = 1
16a^2 = 1 Rightarrow a^2 = 16 Rightarrow a = 4

Passo 7

Agora que sabemos que b = 32a = 32 times 4 = 6 , podemos encontrar b^2 = 36 :

Passo 8

Com x^216 - y^236 = 1 e , a equação da hipérbole é:

Resposta

A equação da hipérbole x^216 - y^236 = 1 é:

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