Se [I]alpha^alpha^prime=[rrr1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1] ache [v]alpha onde [v]alpha^prime=[r-1 2 3].

Passo 1

Então, vamos por partes! O exercício nos dá a matriz de mudança de base [I]alpha^alpha^prime e o vetor v na base alpha^prime, que é [v]alpha^prime = -1 2 3 . A missão aqui é encontrar como esse vetor v fica representado na base alpha, ou seja, descobrir [v]alpha. Para isso, vamos usar a ideia de mudança de base em álgebra linear, que envolve multiplicar a matriz de mudança pela representação do vetor na base original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona as coordenadas do vetor em duas bases diferentes. A gente tem:
[v]alpha = [I]alpha^alpha^prime cdot [v]alpha^prime
Isso significa que, para encontrar [v]alpha, basta multiplicarmos a matriz de mudança de base [I]alpha^alpha^prime pelo vetor [v]alpha^prime.

Passo 3

Vamos fazer essa multiplicação agora:

$$
1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 cdot -1 2 3 = 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 0 cdot 3 0 cdot (-1) + (-1) cdot 2 + 1 cdot 3 1 cdot (-1) + 0 cdot 2 + (-1) cdot 3
\cdot

$$

Passo 4

Agora, vamos calcular cada entrada do vetor resultante:
  1. Primeira posição:
    1 cdot (-1) + 1 cdot 2 + 0 cdot 3 = -1 + 2 + 0 = 1
  2. Segunda posição:
    0 cdot (-1) + (-1) cdot 2 + 1 cdot 3 = 0 - 2 + 3 = 1
  3. Terceira posição:
    1 cdot (-1) + 0 cdot 2 + (-1) cdot 3 = -1 + 0 - 3 = -4

Resposta

Então, a representação do vetor v na base alpha é:
[v]alpha = 1 1 -4

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